Бинарные и унарные отношения. Решение задач по отношениям между множествами

САМАРКАНДСКИЙ ФИЛИАЛ ТАШКЕНТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ИМЕНИ МУХАММЕД АЛЬ-ХОРЕЗМИ

Самостоятельная работа 1
по предмету Дискретнойструктуре


Тема: Бинарные и унарные отношения. Решение задач по отношениям между множествами.

Факультет: Компьютерный инженеринг

Группа: KI-S22-03
Выполнил: Норматов Шахзод
Принял: Кубаев Саидазим

Тема №2. Бинарные и унарные отношения. Решение задач по отношениям между множествами.


Определение. Пусть А и В - множества. Произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (а, в), где аА и вВ. Произведение обозначается АВ.
АВ={(a,b):aA и bB}.
Произведение двух множеств часто называют прямым или декартовым произведением. Заметим, что произведение n штук одного и того же множества А обозначается через Аⁿ .


Примеры. 1) Если А = {a, b}, B = {0, 1}, C = , то
АВ = {(a, 0), (a, 1), (b, 0), b, 1)},
BA = {(0, a) (0, b), (1, a), (1, b)},
AC = CA = .
2) Пусть R – множество действительных чисел. Тогда R² – множество, которое обычно изображается в виде плоскости, а элементы из R² называются точками плоскости.
3) Пусть [a, b], [c, d] – отрезки прямой. Тогда [a, b][c, d] – прямоугольник на плоскости.
Определение.Бинарным отношением (или просто отношением) в АВ называется любое подмножество множества АВ.
Примеры. 1) Пусть А = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Тогда AB = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (2,7), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (3,7)}.
2) Возьмем S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6)}. Ясно, что SAB, т.е. S является бинарным отношением в AB. Это отношение может быть охарактеризовано следующей формой
S = {(x,y)AB: xA является делителем yB}.
3) Пусть А некоторое множество, а b(А) множество всех его подмножеств. Множество b(А) называется булеаном. Пусть W отношение в b(А) b(А), задаваемое формой:
W = {(B, C)b(A)b(A): BC}.
Тогда W является отношением включения множеств.
Если S является некоторым отношением и (x, y)S, то мы будем писать xSy и говорить, что x находится в отношении S с y.
Если S является отношением в АА, то говорят, что S является отношением в А.
Пусть S некоторое отношение в АВ. Введем два множества:
D_S = {aA: bB: (a,b)S},
R_S = {bB: aA: (a,b)S}.
Множество D_S называется областью определения отношения, а множество R_S – областью значений. Если D_S = A, то такое отношение называют всюду определенным, а если R_S = B – сюръективным. Когда отношение одновременно является сюръективным и всюду определенным, то говорят, что S отношение на АВ (соответственно на А, если В=А).
Отношение S называется инъективным, если из (a, b)S и (c, b)S следует, что а = с. Если отношение S является всюду определенным, инъективным и сюрьективным, то его называют биективным.
Иногда отношения называются соответствием между элементами множества А и В.
Пусть S некоторое отношение в АВ. Введем отношение S^-1 следующим образом: (у, х) S^-1 (х, у) S. Отношение S^-1назовем обратным отношением.