Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar sistemasini runge kutta usulida yechish

BIRINCHI TARTIBLI ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR SISTEMASINI RUNGE KUTTA USULIDA YECHISH
Runge–Kutta usuli — oddiy differensial tenglamalar va tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasini yechishda qoʻllaniladigan sonli usullar toʻplami. Ilk marta 1900-yili nemis matematiklari Carl Runge va Wilhelm Kutta tomonidan taklif qilingan.
Runge–Kutta usullari toʻplamiga Eulerning oshkor usuli va Eulerning modifikatsiyalangan usullari kiradi. Ushbu usullar mos holda birinchi va ikkinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar hisoblanadi. Bundan tashqari uchinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan standart oshkor usullar ham mavjud, biroq ular keng tarqalmagan. Koʻplab matematik paketlar (Maple, MathCAD, Maxima) da toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan klassik Runge–Kutta usuli qoʻllaniladi. Yuqori aniqlikdagi hisob-kitoblar zarur boʻlganda beshinchi va oltinchi tartibli aniqlikka ega boʻgan usullardan foydalaniladi. Aniqlik tartibi ortib borgani sari ushbu usulda hisoblash sxemasi ham murakkablashib boradi.
Yettinchi tartibli usullar kamida toʻqqiz bosqichdan iborat boʻadi, sakkizinchi tartibli usullar esa kamida 11 bosqichdan iborat. Toʻqqizinchi va undan yuqori tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar (umuman olganda, ular amaliyotda deyarli ishlatilmaydi) qancha bosqichdan iborat boʻlishi maʼlum emas.
Toʻrtinchi tartibli klassik Runge–Kutta usul
Toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan Runge–Kutta usuli juda koʻp qoʻllanilgani tufayli baʼzida uni shunchaki Runge–Kutta usuli deb ataladi. Ushbu metodda integrallash qadami doimiy boʻladi.
Runge-Kutta usuli bilan amaliy masalalarni yechish juda qulay. Chunki, bu usul orqali noma`lum funksiyaning dagi qiymatini topish uchun uning
dagi qiymati aniq bo`lishi yetarlidir. Runge-Kutta usuli uning aniqlash darajasiga ko`ra bir necha turlarga bo`linadi. Shulardan amaliyotda eng ko`p qo`llaniladigani to`rtinchi daraja aniqlikdagi Runge-Kutta usulidir.
Birinchi tartibli differentsial tenglama uchun ma`lum bo`lsin. Bu yerda
boshlang’ich shart ma`nosida bo`lmasligi ham mumkin. Noma`lum funksiya y
ning dagi qiymati ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim bo`ladi:
bu erda
,
,
,
,
- integrallash qadami.
Tenglamaning yechimi qidirilayotgan [a,b] kesma
(i=0,1,2,…,n) nuqtalar bilan o`zaro teng n ta bo`lakka bo`lingan. i ning ha bir qiymati uchun yuqoridagi amallarni bajaramiz va noma`lum funktsiya y ning qiymatlarini (tenglamaning yechimini) quyidagi formuladan topamiz:
Yuqorida tavsiflangan Eylerning oshkor va oshkormas usullari bir qadamli usullar sinfiga kiradi. Bu usullarning bunday deb atalishining sababi bu formulalar toʻrning yonma-yon ikkita tugunidagi toʻr yechimlarni oʻz ichiga olishi va ularning oldingi tugunda berilgan toʻr yechimdan foydalanib navbatdagi tugundagi toʻr yechimni topish imkonini berishi. Bir qadamli usullarning yana boshqalari bu Eylerning toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullaridir. Eylerning toʻgʻrilangan usuli quyidagi munosabatlar bilan beriladi: y0 – berilgan, Eylerning modifikatsiyalangan usuli esa quyidagi munosabatlar bilan beriladi: y0 –
berilgan.Bu usullarda oldingi qadamda hisoblangan yi yechimdan foydalanib yi+1 tugun yechimni topish ikki bosqichda bajariladi. 24 Eylerning toʻgʻrilangan usulida avvalo oldingi qadamdagi yi ning qiymati yuqorida tavsiflangan ushbu y  y  hf x y  (56) Eylerning oshkor usuli formulasidan topiladi, undan keyin esa uning xi+1 tugundagi toʻr yechimi quyidagi formuladan foydalanib topiladi Eylerning modifikatsiyalangan usuliga koʻra dastlab Eylerning oshkor usuli formulasi boʻyicha quyidagi yordamchi toʻr yechim i+1/2 «yarim butun» nomer bilan xi+1/2=xi+h/2 oraliq tugunda topiladi y  y   , keyin esa izlanayotgan yi+1 toʻr yechim quyidagi formula boʻyicha hisoblanadi. Eylerning toʻgʻrilangan usulining geometrik maʼnosi quyidagicha (10-rasm). (1) differensial tenglamaning y (i) va ȳ (i+1) yechimlarining (xi,yi) va (xi+1,ȳi+1) nuqtalar orqali oʻtuvchi mos grafiklarini chizamiz, bunda ȳi+1 ning qiymati (56) formula boʻyicha hisoblanadi,
1, 2 lar orqali esa koʻrsatilgan nuqtalarda shu grafiklarga oʻtkazilgan urinmalarning x oʻq bilan tashkil 10-rasm. qilgan mos burchaklarini belgilaymiz. Keyin esa (xi,yi) nuqta orqali x oʻq bilan  burchak tashkil etuvchi shunday l toʻgʻri chiziq oʻtkazamizki, uning burchak koeffisiyenti, yaʼni tangensi 1, 2 burchaklar tangenslarining oʻrta arifmetigiga teng boʻlsin:   1 2 2 1 tg  tg 
tg . 4-lemma. l toʻgʻri chiziqning xi+1 tugun orqali oʻtuvchi va ordinata oʻqiga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi Eylerning toʻgʻrilangan usuli orqali xi+1 tugunda topilgan toʻr yechimi qiymati bilan mos keladi. Isbot. l toʻgʻri chiziqning tenglamaini quyidagicha yozamiz: i i y(x)  (tg)(x  x )  y  . 25 Maʼlumki x y t g t g t g y x y x f x y x qaralayotgan toʻgʻri chiziqning tenglamasini quydagicha yozish mumkin: 2 1 ( ) 1 1  . Bu yerda x = xi+1 kabi belgilash kiritib, xi+1 – xi = h ekanligidan quyidagi miqdorni hosil qilamiz: , bu esa (57) ga koʻra oʻz navbatida yi+1 toʻr yechimga mos keladi. 10-izoh. Eylerning toʻgʻrilangan usuli holida yi+1 yechimni topish uchun izlanayotgan yechimning [xi,xi+1] kesmadagi grafigi Eylerning oshkor usulidagi kabi (xi,yi) nuqtadan oʻtuvchi boʻlagi bilan almashtiriladi. Ammo bu boʻlakning qiyaligini tanlash ancha mushkul, chunki Eylerning oshkor usuli yordamida (xi,yi) nuqtaga qoʻshimcha ravishda (xi+1,ȳi+1) nuqta ham quriladi va bu qiya chiziqning absissa oʻqi bilan hosil qilgan burchagi tangensi deb berilgan differensial tenglamaning shu nuqtalardan oʻtuvchi yechimlari grafiklariga oʻtkazilgan urinmalarning absissa oʻqi bilan hosil qilgan burchaklari tangenslarining oʻrta arifmetigi olinadi. Yana bir bor taʼkidlaymizki, bu burchaklarning oʻzlari emas, balki ularning tangenslari oʻrtalashtiriladi. 2-misol. Eyler modifikatsiyalangan usuli (55) ning geometrik maʼnosini tushuntiring. Yechish. Shunday savol tugʻiladi: (54) va (55) usullarning Eylerning oshkor usulidan nima ustunligi bor? Bunga javob quyidagicha: Eylerning toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullari h0 da toʻr yechimning
differensial masala yechimiga tezroq yaqinlashishini taʼminlaydi. Bu usullar shunday xossaga ega boʻlishining sababi bu Eylerning oshkor usuliga nisbatan ularning lokal xatoligi algoritm qadamlarida h qadam boʻyicha yuqori tartibli kichiklikka egaligida. Bundan kelib chiqadiki, bu dalil faqat yetarlicha silliq yechimlar uchungina oʻrinli. Shuning uchun biz bundan keyin differensial tenglamaning oʻng tarafidagi f funksiyaga qoʻshimcha shartlar qoʻyamiz, bunda faraz qilamizki, nafaqat f funksiya, balki uning birinchi tartibli hosilalari fx , fy , hamda uning ikkinchi tartibli hosilalari fxx , fxy , fyy  ham x, y oʻgaruvchilarga nisbatan uzluksiz va chegaralangan boʻlsin; bu hosilalarn- 26 ing chegaralanganlik shartini bajaruvchi oʻzgaruvchilarni mos ravishda M4, M5, M6 deb belgilaylik. 5- lemma. Eyler toʻgʻrilangan usulining lokal xatoligi (2) i1  quyidagi baholashni qanoatlantiradi: (2) 3  i1  M h , i=0,1,…,N-1, (58) bu yerda M – chekli oʻzgarmas son boʻlib barcha i lar uchun bir xil va uning qiymati M1 – M6 larning qiymatlari orqali topiladi. Isbot. (58) baholashni chiqarishning gʻoyasi Eyler oshkor usulining (40) baholashinikiga oʻxshash (bu yerda M oʻzgarmasning qiymati har ikkala usul uchun bir biridan farq qiladi). Qaralayotgan usulning lokal xatoligi uchun ushbu 1 y (59) ifodasida yi+1 toʻr yechimni unga teng boʻlgan va hisob ifodasining h ning darajalari boʻyicha Teylor qatoriga yoyilmasi hisob formulasidan topilgan miqdori bilan almashtiramiz, bunda ishonch hosil qilamizki, u h boʻyicha talab qilingan kichiklik darajasiga koʻra cheksiz kichik. Yuqoridagi
(59) formulada ( )1 ( ) i i y x miqdor, Eylerning oshkor usulidagi kabi, ushbu differensial tenglama yordamchi yechimining – Koshi masalasi yechimining xi+1 nuqtadagi qiymati. Bu qiymatni Teylor formulasi boʻyicha ifodalaymiz, bunda yoyilmaning uchunchi tartibgacha kichiklikdagi hadlarini saqlab qolamiz. (62) (60) va (61) tengliklarga koʻra i i i y x  y  x  f x y x  f x y  . (63) Bundan tashqari avval (60) tenglikni differensiallab, keyin esa uni qayta qoʻllab, quyidagi munosabatga kelamiz (64) bu yerda x = xi almashtirish olib, (61) ga koʻra quyidagi tenglikka ega boʻlamiz. (65) 27 (63) va (65) lardan foydalanib, (62) yoyilmani quyidagicha yozish mumkin) 2 1 y (xi ) yi f (xi , yi )h f x xi yi f y xi yi f xi yi h i   ( ) 3 '''( ) 6 1 y x h h i i i   (66) Lokal xatolik uchun (59) ifodadagi yi+1 miqdor
(54) formula orqali beriladi. Bu ifodaning oʻng tarafini ikki oʻzgaruvchili funksiya uchun (xi,yi) nuqtada Teylor formulasi boʻyicha yoysak, quyidagini hosil qilamiz
(67) bu yerda i i x y ~ , ~ - ikkita (xi,yi) nuqtalarni tutashtiruvchi kesma boʻylab yotuvchi kenglik nuqtalarining koordinatalari. (66) va (67) tengliklarni ixchamroq
holda yozib, ikki oʻzgaruvchili funksiyalar argumentlarini tashlab yuborib, agar ular xi, yi larda teng boʻlsa, quyidagilarga kelamiz (69) bu yerda quyidagi
belgilash qabul qilingan:   . (70) (68) va (69) ifodalarni oʻzaro taqqoslab, ularda h boʻyicha nolinchi, birinchi va ikkinchi tartibgacha kichiklikdagi cheksiz kichik
miqdorlar bir xil va shuning uchun ularni (59) ifodaga qoʻyganimizda ular oʻzaro qisqarib ketadi. Demak, Eyler toʻgʻrilangan usulining lokal xatoligi quyidagiga teng    , (71) 28 shunga koʻra bu h ga nisbatan uchinchi tartibgacha kichiklikdagi cheksiz kichik miqdor. Bunda (71) munosabatning oʻng tarafidagi ikkinchi had (-ih 3 ) ning moduli yuqoridan M7ˑh 3 miqdor bilan baholanadi, bu yerda (70) ga koʻra M7 ning qiymati quyidagicha: M7 = (M4+2 M5 M1+ M6(M1) 2 )/2 Birinchi handing moduli esa xuddi hu tartibli M6h 3 cheksiz kichik miqdor bilan yuqoridan baholash imkonini beradi, ammo bunda oʻzgarmas MS. Bu oʻzgarmasni topish uchun (64) tenglikning oʻng tarafini differensiallash lozim va
(60) munosabatdan foydalanib, y (i) yechimning uchinchi hosilasini hamda uning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini differensial tenglamaning oʻng tarafi orqali quyidagicha ifodalash zarur (72) bu yerdan MS oʻzgarmasning qolgan M1, M2, M3, M4, M5, M6 oʻzgarmaslar orqali ifodasi kelib chiqadi. Shunday qilib, M = M8 + M7 konstantali (58) baholash oʻrnatildi. 3-misol. Eylerning modifikatsiyalangan usuli holida lokal xatolik xuddi (58) baholash kabi baholashni (boshqacha aytganda M oʻzgarmasli) qanoatlantirishini koʻrsating. 2-teorema. Eylerning toʻgʻrilangan usuli holida toʻr yechimning xatoligi quyidagi tengsizlikni
qanoatlantiradi: 2 0,1,..., max Ch i i N    , (73) bu yerda C – chekli oʻzgarmas boʻlib, h dan bogʻliq emas, uning qiymati M1, M2, M3, M4, M5, M6 oʻzgarmaslar qiymati va integrallash kesmasi L ning uzunligi bilan aniqlanadi. Isbot. Eyler oshkor usulining (53) baholashiga oʻxshash chiqarilgan tahlillar shuni koʻrsatadiki, Eyler oshkor usulining hisob formulasi lokal xatoliklar uchun (4) baholashni chiqarish uchun foydalaniladi. Bundan keying fikrlar esa umumiy xarakterga ega boʻlib, ularni ixtiyoriy bir qadamli usullarga qoʻllash mumkin. Bu fikrlarni chiqarish bilan birga (40) dagi Mh2 majorantni (58) dagi Eyler modifikatsiyalangan usulining lokal xatoligi majorantasi Mh3 bilan almashtirib, yuqorida taʼkidlangan xossalarga ega boʻlgan C oʻzgarmasli (73) baholashga kelamiz. 11-izoh. (73) baholash (boshqa C oʻzgarmasli) Eylerning modifikatsiyalangan usuli uchun ham oʻrinli. 29 12-izoh. (73) baholash Eylernig oshkor usuli uchun chiqarilgan (4) baholashga nisbatan toʻr qadami nolgan intilgandagi toʻr yechimning tezroq yaqinlashishini kafolatlaydi (h qadam ikki marta kamaytirilganda (73) tengsizlikning oʻng tarafi, demakki, Eylerning toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullarining toʻr yechimi absolyut xatoligining mumkin boʻlgan limitik qiymati toʻrt marta kichrayadi, u holda (40) baholash uchun toʻr qadamining xuddi shunday kamayishida Eyler oshkor usuli absolyut xatoligining mumkin boʻlgan limitik qiymati ikki marta kichrayadi). 3- taʼrif. Bir qadamli usul m-tartibli aniqlikdagi usul deb aytiladi (m – natural son, m1), agar toʻr yechimning xatoligi uchun quyidagi baholash oʻrinli boʻlsa: m i i N
 Ch   0,1,..., max . (74) Xususan, Eylerning oshkor usuli birinchi tartibli
aniqlikka ega, Eylerning toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullari esa ikkinchi tartibli aniqlikka ega. 13-izoh. Yuqorida aytilganlarga koʻra, m-tartibli aniqlikka ega bir qadamli usullarni qurish masalasi h m+1 tartibli lokal xatolikka ega usullarni qurish masalasiga olib kelinadi. 14-izoh. Eylerning toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullari quyidagi hisob formulalariga ega guruhga kiradi: y  y  h p f x y  p f x  h y  hf x y  , (75) bu yerda p1, p2,  - haqiqiy oʻzgarmaslar («usulning parametrlari»). Xususan, Eylerning toʻgʻrilangan usuli uchun p1 = p2 = 1/2;  = 1, Eylerning modifikatsiyalangan usuli uchun esa p1 = 0; p2 = 1;  = 1/2. 3-teorema. (75) hisob formulali bir qadamli usulning lokal xatoligi
(73) baholashni qanoatlantirishi uchun uning parametrlari quyidagi tenglamalar
sistemasini qanoatlantirishi zarur va yetarli: p1 + p2 = 1; p2 = 1/2. (76) Isbot. Eylerning toʻgʻrilangan usulidagi kabi ((67) formulaga qarang) toʻr yechim (75) ni Teyler formulasi yordamida h ning darajalari boʻyicha yoyib chiqib, quyidagi yoyilmaga ega boʻlamiz: Bu yerda , ' , ' x y f f f orqali differensial tenglamaning oʻng tomoni va uning (xi,yi) «baza» nuqtadagi, yaʼni atrofida Teylor boʻyicha yoyilma 30 yozilgan nuqtadagi birinchi hosilalari, i i x y ~ , ~ - orqali esa baza nuqta va «qoʻzgʻalgan» nuqtani tutastiruvchi kesmaning oraliq nuqtalari koordinatalari, yaʼni x va y oʻzgaruvchilari boʻyicha h, hf koordinat orttirmalariga ega nuqta belgilangan. (77) yoyilmani (68) yoyilmadan ((75) yoyilma holida Eylerning toʻgʻrilangan usuli uchun xuddi shu koʻrinishdagi aniqlikka ega) ayirib, mos oʻxshashliklarga keltirib, (75) usulning lokal xatoligi uchun quyidagi ifodaga kelamizAgar (76) shart bajarilsa, u holda (79) tenglikning oʻng tarafidagi h boʻyicha birinch va ikkinchi tartibgacha kichiklikka ega hadlar yoʻqoladi va lokal xatolik h boʻyicha uchinchi tartibgacha kichiklikka ega had bilan mos keladi. Eylerning toʻgʻrilangan usulidagi kabi koeffitsientning absolyut miqdorini (72) va (78) formulalar yordamida baholab, (73) tengsizlikka kelamiz.
Agar (76) shartlardan birortasi bajarilmasa, u holda (79) lokal xatolik h boʻyicha
uchinchidan kichik tartibga ega va shuning uchun (73) tengsizlik oʻrinli boʻla olmaydi. 15-izoh. 3-teoremaga va 13-izohga koʻra (76) shart bajarilganda (75) hisob formulali usul ikkinchi tartibli aniqlikka ega boʻladi. 16-izoh. p2 parametrning nol qiymati (76) tenglamaning oʻng tomonini qanoatlantirmaydi. Bu
holni chiqarib tashlab, shu tenglamadan  ning p2 parametr orqali ifodasiga kelamiz. Bunda tashqari (76) tenglamaning chap tomoni p1 parametrni p2 parametr orqali ifodalash imkonini beradi. Bu ifodalarni (75) ifodaga qoʻysak, quyidagi ikkinchi tartibli aniqlikka ega bir parametrli hisob formulalari oilasiga kelamiz:. Bu yerda p2 parametrga noldan farqli biror fiksirlangan haqiqiy qiymat berib, bu oilaning aniq hisob formulasini hosil qilamiz. 17-izoh. (75) toʻr yechimni geometrik jihatdan topishda Eylerning toʻgʻrilangan usulini oʻrganishda tavsiflangan qurish uslubidan foydalanish mumkin (4-lemmaga va undan oldingi
fikrlarga qarang). Faqatgina farq shundaki, bunda kenglikning ikkinchi urinma oʻtkaziladigan nuqtasi sifatida ( , ( , )) i i i i x  h y  hf x y nuqta olinadi, urinmalar burchak koeffitsiyenlarining oʻrta arifmetigi qiymati sifatida esa ularning oʻrta algebraik qiymat, yaʼni quyidagi chiziqli kombinatsiya qiymati olinadi: 31  1 1 2 2 tg  p tg  p tg , bu yerda p1 + p2 =1. 18-izoh. (75) usullar Runge-Kutta usullari oilasiga kiradi va (76) shartlar bajarilganda ular ikkinchi tartibli aniqlikka ega usullar qism oilasini tashkil etadi. Bu usulning gʻoyasi 1885 yilda Karl Runge tomonidan kiritilda va 1901 yilda Vilgelm Kutta tomonidan rivojlantirildi. Bu bir qadamli usullarning keng oilasi yuqori tartibli aniqlikka ega usullarni (bu usullarning baʼzilari uchinchi va baʼzilari esa toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega) ham oʻz ichiga oladi. Uchinchi tartibli aniqlikka ega usul algoritmining (i+1)-qadamida quyidagi miqdorlar ketma-ket hisoblanadi: ) buning geometrik nuqtai nazardan maʼnosi shuki, bu miqdorlar differensial tenglama yechimining grafigiga (xi,yi) nuqtada oʻtkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini va (80) ifodaning ikkinchi va uchinchi oʻrnida turgan kengliklar nuqtalarining koordinatalarini ifodalaydi. Shundan keyin xi+1 tugundagi toʻr yechim quyidagi formula bilan hisoblanadi: Bu geometrik nuqtai nazardan shu maʼnoni bildiradiki, (xi,yi) nuqta orqali oʻrtalashtirilgan koeffitsiyentlari 6 1 , 6 4 , 6 1 boʻlgan (80) algebraik oʻrta miqdoriga teng burchak koeffisiyentli toʻgʻri chiziq oʻtkaziladi va xi+1 tugundagi toʻr yechim sifatida bu toʻgʻri chiziqning xi+1 tugun orqali ordinata oʻqiga parallel ravishda oʻtuvchi toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasining ordinatasi olinadi. Toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega usul algoritmining (i+1)-qadamida dastlab quyidagi miqdorlar hisoblanadi: ), keyin esa toʻr yechim quyidagi formuladan topiladi19-izoh. Olingan toʻr yechimning aniqligini nazorat qilish xatolikni taqribiy baholashning Runge qoidasi yordamida amalga oshiriladi (bu qoida bilan aniq integrallarni taqribiy hisoblashda tanishilgan). Koshi ma- 32 salasini bir qadamli usullar bilan taqribiy yechishda bu qoidadan quyidagi tartibda foydalaniladi. Faraz qilaylik, , 2 , / 2 , N h N h y y – m-tartibli aniqlikka ega usul yordamida integrallash kesmasining oʻng oxirida toʻrning mos h, h/2 qadamlarida hisoblangan toʻr yechimlar boʻlsin. Bu yechimlar uchun quyidagi tenglik oʻrinli.
(84) bu yerda c – (84) formulalarning har ikkalasi uchun ham bir xil va h dan bogʻliq boʻlmagan oʻzgarmas; o(h m) – bu h m ga nisbatan kichik boʻlgan yuqori
tartibli kichliklikka ega miqdor. Qaralayotgan yechim xatoligining bosh hadlarini topish uchun (84) tenglikdan foydalani boʻlmaydi, chunki unga kiruvchi aniq
yechimning ( ) y x0  L qiymati bizga maʼlum emas. Ammo, birinchi tenglikni ikkinchisidan ayirib tashlasak, u holda quyidagi munosabatga ega boʻlamiz: bu yerdan esa yuqori tartibli kichiklikka ega hadni tashlab yuborib, 2N ,h / 2 y toʻr yechim xatoligining bosh hadi uchun quyidagi taqribiy ifodasiga kelamiz: (86) Agar (86) oʻng tomonining moduli toʻr yechimning absolyut xatoligi uchun
mumkin boʻlgan limitik qiymatidan oshib ketmasa, u holda hisob toʻxtatiladi va integrallash oraligʻidagi taqribiy yechim sifatida h/2 qadam bilan hisoblangan toʻr yechim qabul qilinadi. Aks holda esa yuqorida tavsiflangan prosedura h/2, h/4 va hokazo qadamlar uchun takrorlanadi. Shuni taʼkidlaymizki, Runge qoidasi boʻyicha xatolikni baholashda kesmaning oxiri shu kesmaning ixtiyoriy nuqtasi (masalan, kesmaning oʻrtasi) bilan almashtirilishi mumkin; h qadam sunday tanlanadiki, bunda shu nuqta toʻrning tuguni boʻlib chiqishi kerak. 20-izoh.
Yuqorida chiqarilgan fikrlar toʻr yechimni koʻrsatish va uni hosil qilishni
aniqlashtirishning uslublarini ochib beradi. Aynan, agar (85) tenglikdan c(h/2)m ni ifodalab olsak va uning natijasini (84) formulalardan ikkinchisiga qoʻysak, u holda quyidagi tenglikka ega boʻlamiz:, bu shuni bildiradiki, katta qavs ichidagi miqdor
( ) y x0  L uchun 2N ,h / 2 y ga nisbatan eng yaxshi yaqinlashish, chunki bu miqdorning xatoligi o(h m) tartibli cheksiz kichiklikka ega, u holda toʻr yechimning xatoligi ham o(h m) tartibga ega. Toʻr yechimni bunday aniqlashtirish uslubi 1910 yilda ingliz geofizigi L.Richardson tomonidan taklif etilgan boʻlib, u Richardson boʻyicha aniqlashtirish yoki Richardson ekstrapolyatsiyasi deb ataladi. 21-izoh. Runge-Kutta usullari nafaqat Koshi masalasini yechishda, balki birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi uchun yozilgan chegaraviy masalalarni yechishda ham qoʻllanilishi mumkin. Bunda chegaraviy masalani yechish qoidalari o'q otish usuli deb ataluvchi Koshi masalasini ketma-ket yechish usuliga keltiriladi. Masalan, xuddi shu differensial tenglamalar sistemasi uchun ushbu y1 (x0 ) , y2 (x0 )   , boshlangʻich shartli Koshi masalasi qaraladi. dagi ikkinchi boshlangʻich shartning oʻng tomonidagi  shunday tanlanadiki, bunda y2() yechim Koshi masalasini (88) ning ikkinchi chegaraviy sharti boʻyicha qanoatlantirsin: y2 (x0  L, )  ; bularga koʻra y1() va y2() yechimlar chegaraviy masalaning izlanayotgan yechimlari boʻladi. Absrakt nuqtai nazardan  ni tanlash masalasi quyidagi funksiyaning ildizini topish masalasidir: ( )  y2 (x0  L, )  . Bu tenglamani yechish uchun oraliqni teng ikkiga boʻlish usulidan foydalanamiz. Bu maqsadda 1, 1 (1< 1) qiymatlar shunday tanlanadiki, [1,
1] kesmaning oxirlarida Ф funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul qilsin. Bu hoda Ф funksiyaning uzluksizligidan (faraz qilamizki, Koshi masalasi yechimining boshlangʻich shartlarning oʻng tarafidan bogʻliqlik ifodasi uzluksiz boʻlsin) bunday kesma izlanayotgan ildizni oʻz ichiga oladi. Kesmani 1 nuqta bilan teng ikkiga boʻlamiz va [1,1] ,[1,1] kesmalardan birini shunday tanlaymizki, tanlangan kesmaning oxirlarida 34 Ф funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul qilsin.
Tanlangan kesmani [2, 2] kesma deb belgilab, uni 2 nuqta bilan teng ikkiga boʻlamiz va hokazo. Bu jarayonning qaysidir bir qadamida [n, n] kesmaning uzunligi ildizni topishning mumkin boʻlgan xatoligidan kichikligi kelib chiqsa,
hisob jarayoni toʻxtatiladi va oxirgi kesma n ning oʻrtasi izlanayotgan  ning qiymatiga yaqinlashish sifatida deb qabul qilinadi. ( )  0 tenglamani yechishning boshqa usullari bilan tavsiya etilgan adabiyotlar orqali tanishish mumkin. Quyida bir qadamli usullarning yana bir guruhi – yechimni Teylor qatoriga yoyish usullari bilan tanishaylik. Bunday usulning gʻoyasini ikkinchi tartibli aniqlikka ega usul misolida tushuntiraylik. Berilgan differensial tenglamaning y (i) yordamchi yechim uchun chiqarilgan (62) Teylor yoyilmasini qaraymiz, undagi uchinchi tartibli kichiklikka ega hadni tashlab yuboramiz va hosil boʻlgan miqdorni xi+1 tugundagi toʻr yechim deb qabul qilamiz. Boshqacha qilib ayganda, quyidagini yozamizBu yerda y (i) funksiyaning va uning xi nuqtadagi hosilalarinining qiymatini (63) va (65) formulalar yordamida almashtirib, quyidagi hisob formulasiga kelamiz . Analitik nuqtai nazardan chiqarilgan fikrlar shuni anglatadiki, [xi,xi+1] kesmada y (i) yordamchi yechimni ikkinchi tartibli hosilasi y
(i) yordamchi yechimning xi nuqtadagi hosilasi bilan mos keluvchi ikkinchi tartibli
koʻphad bilan almashtirni anglatadi, geometrik nuqtai nazardan esa bu y (i) yechimning grafigini grafigi (xi,yi) nuqtadan oʻtuvchi, shu nuqtada y (i) umumiy yechim bilan bir xil urinmaga va bir xil egrilik radiusiga (bunday holda ikkita egri chiziqning oʻzaro urinishi «ikkichi tartibli urininsh» deb taladi) ega parabola bilan almashtiriladi. Bunda yi toʻr yechim sifatida bu koʻphadning x = xi+1 nuqtadagi yoki geometrik atamada - bu xi+1 tugundan oʻtuvchi va ordinata oʻqiga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziqning shu parabola bilan kesishish nuqtasining ordinatasi qabul qilinadi. Bu m-tartibli aniqlikka ega usulga oʻxshash usulning hisob formulasi differensial tenglamaning oʻng tomonidagi f funksiyaning (m-1)- tartibgacha hosilalarini oʻz ichiga oladi. Bu hosilalarning xi nuqtadagi 35 qiymatlarini hisoblash algoritmning (i+1)-qadamidagi assosiy hisoblashlarni tashkil qiladi. m- ning oshib borishi bilan bu hosilalarning soni tez oʻsib boradi, usul ham shuncha murakkablashadi, ammo yechimni Teylor qatoriga yoyish usuli bu maʼnoda xuddi shu tartibli Runge-Kutta usulidan ustun emas. Shuning uchun amaliyotda yechimni Teylor qatoriga yoyish usulidan nisbatan kam foydalaniladi.