Числовые последовательности
Download 19.35 Kb.
|
Cафаров Дийорбек 2207М
|
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УЗБЕКИСТАНА ИМЕНИ МИРЗО УЛУГБЕКА ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ РЕФЕРАТ НА ТЕМУ: ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЫПОЛНИЛ(А): студент 1-курса группы №2207М Сафаров Дийорбек ПРОВЕРИЛА: преп.межфакультетской кафедры русского языка Абдусаламова Ф.А. ТАШКЕНТ-2023 АННОТАЦИЯ Данный реферат написан на тему: «Числовые последовательности ». В реферате рассмотрены следующие вопросы: Числовая последовательность - это набор чисел, расположенных в определенном порядке. Она может быть описана как функция, которая принимает натуральные числа в качестве аргументов и возвращает числа из последовательности. Аннотация на тему числовых последовательностей может включать в себя описание различных типов последовательностей, таких как арифметическая, геометрическая, фибоначчиева и другие. Также можно рассмотреть свойства последовательностей, такие как сходимость, расходимость, пределы, периодичность и т.д. Важным аспектом, который можно упомянуть в аннотации, является применение числовых последовательностей в различных областях, таких как математика, физика, экономика и др. Например, последовательности могут использоваться для моделирования процессов, описания закономерностей и предсказания будущих значений. В целом, аннотация на тему числовых последовательностей может быть полезной для студентов, изучающих математику и другие науки, связанные с анализом данных и прогнозированием. Реферат предназначен для студентов факультета физики . План
Введение Основная часть 1. Числовые последовательности 2.Способы задания числовых последовательностей 3.Развитие учения о прогрессиях III. Заключение ВВЕДЕНИЕ
Задачи: 1.Изучить исторические аспекты развития учения о прогрессиях; 2.Рассмотреть способы задания и свойства числовых последовательностей; 3.Познакомиться с арифметической и геометрической прогрессиями. В настоящее время числовые последовательности рассматриваются как частные случаи функции. Числовая последовательность есть функция натурального аргумента. Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности: 1, 2, 3, 4, 5, … - последовательность натуральных чисел. 2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных чисел. 1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных чисел. 1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел. 2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел. 1, ½, 1 /3, ¼, 1 /5,… - последовательность чисел обратных натуральным. Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей — монотонно возрастающие, последняя — монотонно убывающая. Все перечисленные последовательности, кроме 5-й, являются заданными ввиду того, что для каждой из них известен общий член, т. е. правило получения члена с любым номером. Для последовательности простых чисел общий член неизвестен, однако еще в III в. до н. э. александрийский ученый Эратосфен указал способ (правда, очень громоздкий) получения n-го ее члена. Этот способ был назван «решетом Эратосфена». Прогрессии — частные виды числовых последовательностей — встречаются в памятниках II тысячелетия до н. э. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ Числовые последовательности Существуют различные определения числовой последовательности. Числовая последовательность – это последовательность элементов числового пространства (Википедия). Числовая последовательность – это занумерованное числовое множество. Функцию вида y = f (x), x называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f (n) или Для обозначения последовательности используется запись (). Будем выписывать в порядке возрастания положительные чётные числа. Первое такое число равно 2, второе – 4, третье – 6, четвёртое – 8 и т.д., таким образом мы получим последовательность: 2; 4; 6; 8; 10 …. Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом число – 20, на сотом число – 200. вообще для любого натурального числа n можно указать соответствующее ему положительное чётное число; оно равно 2n. Рассмотрим ещё одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1: ; ;;;; … . Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую ему дробь; она равна . Так, на шестом месте должна стоять дробь , на тридцатом - , на тысячном – дробь . Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвёртым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например: , , и т.д. вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают . Саму же последовательность обозначают (). Последовательность может содержать, как бесконечное число членов, так и конечное. В этом случае её называют конечной. Например: последовательность двухзначных чисел.10; 11; 12; 13; …; 98; 99 Способы задания числовых последовательностей Последовательности можно задавать несколькими способами. Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего n-го члена, которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер. В этом случае говорят, что последовательность задана аналитически. Например: последовательность положительных чётных членов =2n. Задача: найти формулу общего члена последовательности (: 6; 20; 56; 144; 352;… Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде: n=1: 6 n=2: 20 n=3: 56 Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента. Таким образом, делаем вывод, что Ответ: формула общего члена: Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения. Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro – возвращаться). В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу. Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел Фибоначчи - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно Задача: последовательность задана при помощи рекуррентного соотношения N, = 4. Выписать несколько первых членов этой последовательности. Решение. Найдем третий член заданной последовательности: Аналогично находим далее, что При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для нахождения надо найти все предыдущие 499 членов. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность. Пример1 . «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, …. Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности. Так же числовую последовательность можно задать простым перечислением её членов. Развитие учения о прогрессиях Слово прогрессия латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперёд» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VIв в.), первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать её в одном направлении, например последовательность натуральных чисел, их квадратов и кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестаёт быть общеупотребительным. В XVII веке, например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии». В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей. Теоретические сведения связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. В «Псаммите» Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии: 1,2,3,4,5,……………….. 10, , …………. Прогрессии рассматривались как бы продолжением пропорций, вот почему эпитеты арифметическая и геометрическая были перенесены от пропорций к прогрессиям. Такой взгляд на прогрессии сохранился и у многих математиков XVII и даже XVIIIв. Именно так следует объяснить тот факт, что символ встречающийся у Барроу, а затем и у других английских учёных того времени для обозначения непрерывной геометрической пропорции, стал обозначать в английских и французских учебниках XVIII века геометрическую прогрессию. По аналогии так стали обозначать и арифметическую прогрессию. Одно из доказательств Архимеда, изложенное в его произведении «Квадратура параболы», сводится по существу к суммированию бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Для решения некоторых задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя ею пользовались и до него. 1/6n(n+1)(2n+1) Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским учёным. Так, Ариабхатта (Vв.) знал формулы для общего члена, суммы арифметической прогрессии и др., Магавира (IX в.) пользовался формулой: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) и другими более сложными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского. В «Науке о числах» (1484) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию с геометрической и даёт общее правило для суммирования любой бесконечно малой убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммирования бесконечно убывающей прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII века. Задачи на арифметические (и геометрические) прогрессии имеются и в древнекитайском тракте «Математика в девяти книгах», в котором нет, однако, указаний на применение какой-либо формулы суммирования. Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д. Из одной клинописной таблички можно заключить, что, наблюдая луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые пять дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2. В другой более поздней табличке речь идёт о суммировании геометрической прогрессии: 1+2++…+. решение и ответ S=512+(512-1), данные в табличке наводят на мысль, что автор пользовался формулой. Sn=a1+(n-1)d, однако о том, как он дошёл до нее никому не известно. Суммированием геометрических прогрессий и составлением соответствующих, не всегда отвечающих практическим нуждам задач занимались многие любители математики на протяжении древних и средних веков. Свойства числовых последовательностей Числовая последовательность — частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций (ограниченность, монотонность) рассматривают и для последовательностей. Ограниченные последовательности Последовательность () называется ограниченной сверху, если существует такое число M , что для любого номера n , M. Последовательность () называется ограниченной снизу, если существует такое число m , что для любого номера n , m. Последовательность () называется ограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число M 0 , что для любого номера n , M. Последовательность () называется неограниченной, если существует такое число M 0 , что существует такой номер n , что , M. Задача: исследовать последовательность = на ограниченность. Решение. Заданная последовательность является ограниченной, так как для любого натурального номера n выполняются неравенства: 0 1, То есть последовательность является ограниченной снизу нулем, и вместе с тем является ограниченной сверху единицей, а значит, является и ограниченной. Ответ: последовательность ограничена - снизу нулем, а сверху единицей. Возрастающие и убывающие последовательности Последовательность () называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего: Например, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... — возрастающая последовательность. Последовательность () называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего: Например, 1; - убывающая последовательность. Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности. Приведем еще несколько примеров. 1; - эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотонная последовательность). =2n. Речь идет о последовательности 2, 4, 8, 16, 32, ... — возрастающая последовательность. Вообще, если a > 1, то последовательность = возрастает; если 0 < а < 1, то последовательность = убывает. Арифметическая прогрессия Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность заданная рекуррентно соотношениями = = x, = = + d, (n = 2, 3, 4, …; a и d – заданные числа). Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой = 1, d = 2. Пример 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой= 20, d = –3. Пример 3. Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на четыре дают в остатке 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21 … Каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии. Нетрудно найти явное (формульное) выражение через n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет на величину (n – 1)d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е. S= a1 + d (n – 1). Это формула n-го члена арифметической прогрессии. - это формула суммы n членов арифметической прогрессии. Арифметической прогрессия названа потому, что в ней каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним – предыдущего и последующего, действительно, ЗАКЛЮЧЕНИЕ Изучением числовых последовательностей занимались многие ученые на протяжении многих веков. Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д. Они являются одним из ключевых понятий математики. В своей работе я постаралась отразить основные понятия, связанные с числовыми последовательностями, способы их задания, свойства, рассмотрела некоторые из них. Отдельно были рассмотрены прогрессии (арифметическая и геометрическая), рассказано об основных понятиях связанных с ними. ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
СЛОВАРНАЯ РАБОТА 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. Download 19.35 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|