Differensiallash qoidalari


Download 196 Kb.
bet1/3
Sana31.01.2023
Hajmi196 Kb.
#1143171
  1   2   3
Bog'liq
DIFFERENSIALLASH QOIDALARI


DIFFERENSIALLASH QOIDALARI
Reja:

  1. Hosila va differensialni hisoblash qoidalari Yuqori tartibli hosila va differensiallar

  2. Differensiallanuvchi funksiya uchun o`rta qiymat haqida teoremalar. Teylor formulasi. Lopital qoidasi


Yuqori tartibli hosila va differensiallar


1. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida teoremalar. Elemen-tar funksiyalar hosilalari jadvali
Limitlar haqida teoremalar kabi, differensiallanuvchi funksiyalar haqida ham teoremalar mavjud.
u(x) va v(x) funksiyalar x nuqtada differensiallanuvchi bo`lib, k biror-bir o`zgarmas son bo`lsa, u holda x nuqtada
a) u(x) + v(x); b) k u(x); c) u(x) · v(x); d)
funksiyalar ham differensiallanuvchi bo`ladi va quyidagilar o`rinli :
1) [u(x) + v(x)]  = u(x) + v(x); d[u(x) + v(x)] = du(x) + dv(x).
2) [k u(x)]  = k u(x); d[k u(x)] = k du(x).
3) [u(x) · v(x)] = u(x) · v(x) + u(x) · v(x);
d[u(x) · v(x)] = u(x) · dv(x) + v(x) · du(x).

4) ;


, ( v(x) ≠0).

Funksiya hosilasini hisoblashda differensiallash qoidalaridan tash-qari, elementar funksiyalar hosilalari jadvalidan ham foydalaniladi.



(x)

f(x)




(x)

f(x)

C (o`zgarmas)

0




sin x

cos x

xp

xp-1




cos x

-sin x








tg x



ax

alna




ctg x



(x)

f(x)




(x)

f(x)

ex

ex




arcsin x



log|x|






arccos x






arctg x



ln |x|






arcctg x



Misollar. Differensiallash qoidalari va hosilalar jadvalidan foydala-nib, quyidagi funksiyalar hosilalarini hisoblang:


1. . 2. .
1.
.
2.


2. Murakkab funksiya hosilasi va differensiali
y = (u) va u = g(x) funksiyalarning superpozitsiyasidan iborat y = [g(x)] murakkab funksiya berilgan bo`lsin.
Agar u = g(x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi, o`z navbati-da y = (u) funksiya u0 = g(x0) nuqtada differensiallanuvchi bo`lsa, u holda y = [g(x)] murakkab funksiya ham x0 nuqtada differensiallanuv-chi bo`ladi va yoki y(x0) = f (u0) · g(x0).
Murakkab funksiyaning erkli o`zgaruvchi bo`yicha hosilasi, shu funksiyani tashkil etgan (superpozitsiyalanuvchi) funksiya hosilalarining ko`paytmasiga teng.
Murakkab funksiya differensiali uchun dy = y(x0) · dx = f (u0) · du tengliklar o`rinli, bu yerda du = g(x0) · dx. Murakkab funksiya birinchi tartibli differensialini hisoblash uchun uning biror o`zgaruvchi bo`yicha hosilasini shu o`zgaruvchining differensialiga ko`paytirish yetarli. Bun-da differensialni hisoblash shakli o`zgarishsiz qolib, o`zgaruvchilarning tanlanilishiga yoki ularning erkli yoki erksizligiga bog`liq emas.Ushbu xossa birinchi tartibli differensial shaklining invariantlik xossasi deyiladi.
Misol.
1.  funksiyaning birinchi tartibli hosilasi va differensialini hisoblaymiz:


2. y = xsin x (x > 0) funksiya hosilasini hisoblash uchun, dastlab tenglikning ikkala tomonini logarifmlaymiz va so`ngra hosila olamiz:
(lny) = (sin x · lnx) <=> .
Natijada, .
3. Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar
y = f(x) funksiya uchun birinchi tartibli hosila y aniqlangan bo`lsin. Funksiyaning ikkinchi tartibli y hosilasi u dan olinadigan hosila (agar uning mavjudlik sharti bajarilsa) sifatida aniqlanadi: y = (y).
Yuqoridagi mulohazani davom ettirib, funksiyaning uchinchi, to`r-tinchi va hokazo, ixtiyoriy n – tartibli hosilalarini aniqlash mumkin. Yuqori tartibli hosilalarni yozishda quyidagi belgilar qo`llaniladi:
f (n)(x), yxxx, yV, y, .
Shunday qilib, y = (y), y(4) = (y), . . . , y(n) = (y(n -1)).
Yuqori tartibli hosilalarni hisoblashda, birinchi tartibli hosilani hisoblash qoidalari kabi qoidalar qo`llaniladi. Masalan, y = sin2x funk-siya uchun y = (sin2x) = 2sin x(sinx) = 2sin x cos x = sin2x, y = (sin 2x)=  = 2cos2x, y = (2cos2x) = - 4sin2x va hokazo.
Quyida keltirilgan ba`zi funksiyalarning yuqori n – tartibli hosila-lari uchun tegishli formulalarni olish va ularni jadval holida yig`ish mumkin:



(x)

(n)(x)

xp

p(p-1)(p-2)…(p-n+1)xp-n

ex

ex

ekx

knekx

Lnx



sin kx

kn sin(kx+ )

cos kx

kn sin(kx+ )

y = (x) funksiyaning yuqori tartibli differensiallari ham ketma – ket ravishda, mos hosilalari kabi aniqlanadi:


d2y = d(dy) – ikkinchi tartibli differensial;
d3y = d(d2y) – uchinchi tartibli differensial;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dny = d(dn -1y) - n-tartibli differensial.
Agar y = (u) funksiya berilgan bo`lib, u erkli o`zgaruvchi yoki x ning chiziqli u = kx + b funksiyasidan iborat bo`lsa, u holda:
d2y = y(du)2, d3y = y(3)(du)3, . . . , dny = y(n)(du)n.
Agarda y = (x) funksiyada u = g(x) ≠ kx + b bo`lsa, u holda yuqori tartibli differensiallar uchun invariantlik xossasi o`rinli bo`lmaydi, chunki d2y = f (u) · (du)f (u) · d2u va hokazo.

Download 196 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling