Элементы математической логики в курсе математики. «Высказывания и логические операции над ними»

Тема 6. Элементы математической логики в курсе математики.
«Высказывания и логические операции над ними»
План:

1. 
   Понятие о высказывании. Примеры.
   
2. 
   Операции над высказываниями. Конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквиваленция, разделительная дизъюнкция высказываний, основные свойства этих операций. Примеры.
   
3. 
   Формулы и функции логики высказываний.
   
4. 
   Равносильность формул. Основные законы логики высказываний.
   
5. 
   Элементы математической логики в начальном курсе математики (отбор математического содержания, использование).
   

Логика высказываний
Основоположником формальной логики считается древнегреческий философ Аристотель (4 в. до н.э.)
Идея построения универсального языка для всей математики и формализации на базе такого языка математических доказательств выдвигалась еще в XVII в. Г. Лейбницем. (Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646 - 1716), немецкий математик, философ, физик, юрист, историк, языковед).
Но только в середине XIX в. появились научные работы по алгебраизации Аристотелевой логики Джорджа Буля (1847) в связи с выходом труда «Исследование законов мысли» и Августа де Моргана (1858).
(Дж. Буль (1815-1864) – английский математик, сын сапожного мастера. Самоучка, всецело отдавший себя математике. Младшая дочь – Этель - Лилиан, в замужестве Войнич, прославилась как автор романа «Овод» о борьбе карбонариев за независимость Италии.
Август де Морган (1806-1871) родился в Индии, в семье полковника английских войск, получил образование в Кембриджском университете.)
Математическая логика – раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики.
Математическая логика является теоретической основой кибернетики и связана с различными областями человеческой деятельности, где необходимы логические рассуждения (экономика, педагогика, психология, социология, философия, политика и т.д.).
Понятие о высказывании. Примеры.
Под высказыванием будем понимать всякое простое повествовательное предложение, про которое всегда определенно можно сказать, является ли оно истинным или ложным.
Примеры.
«11- простое число», «9 – простое число», «9 делится на 5», «Все квадраты являются прямоугольниками», «Каждый равносторонний треугольник является равнобедренным», «Автором сказки «Конек – Горбунок» является П.П. Ершов», «А.С.Пушкин является автором произведения «Сказка о Царе Салтане, о сыне его славном и могучем богатыре князе Гвидоне Салтановиче и о прекрасной Царевне Лебеди».
Вопросительные и восклицательные предложения, а также предложения, выражающие приказание, сожаление, не являются высказываниями. Предложения, имеющие субъективные оценки каких-либо фактов также не являются высказываниями.
Привести примеры.
В практической деятельности часто встречаются утверждения, истинность которых не может быть установлена объективно и однозначно. Эти утверждения типа «хорошая погода», «справедливый закон» и т.п., могут рассматриваться как высказывания только в том случае, если четко определена истинность исходных, простых высказываний, а данное высказывание является свернутой формой простых и известен контекст, в рамках которого проводится исследование. Так, например, суждению «сейчас на море хорошая погода» может быть приписана различная истинность в зависимости от того, идет ли речь о рыбной ловле, катании на парусной лодке, серфинге, купании и т.д.
Вообще для «чистоты эксперимента» в классической математической логике абстрагируются от содержания высказываний.
Высказывания бытвают:

1. 
   простые (элементарные, атомарные);
   
2. 
   составные – составленные комбинации из простых высказываний посредством логических связок.
   

Операции над высказываниями. Конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквиваленция, разделительная дизъюнкция высказываний, основные свойства этих операций. Примеры.
Составные высказывания образуются из элементарных посредством логических связок (союзов) (пропозициональных связок).
Примеры связок: «не…», «…и…», «…или…», «если…,то…», «…тогда и только тогда, когда…» и пр.
Высказывания будем обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, и т.д.