Erkli sinovlar ketma-ketligi. Limit teoremalar

Erkli sinovlar ketma-ketligi. Limit teoremalar.

Reja:

1. Bernulli teoremasi.

2. Puasson teoremasi.

3. Muavr-Laplasning teoremalari.

4. Eng katta ehtimollik son.

Ta’rif. Takrorlanadigan sinovlarda har birining u yoki natijasining ehtimolligi boshqa sinovlarda qanday natijalar bo‘lganligiga bog‘liq bo‘lmasa, ular bog‘liqmas sinovlar ketma-ketligini hosil qiladi deyiladi.

n ta bog‘liqmas tajribaning har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli p ga teng bo‘lib, bu ehtimol tajriba o‘tkazish davomida o‘zgarmasin. n ta bog‘liqmas tajribada A hodisaning k marta ro‘y berish ehtimolini P_n(k) deb belgilaylik.

Bernulli teoremasi. n ta bog‘liqmas tajribaning har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli p o‘zgarmas bo‘lsa, u holda bo‘ladi.

P_n(k) - A hodisaning k marta ro‘y berish ehtimoli, n -tajribalar soni, p - hodisaning bitta tajribada ro‘y berish ehtimoli, q - hodisaning bitta tajribada ro‘y bermasligi ehtimoli, k - n ta tajribada A hodisaning ro‘y berishlar soni

Puasson teoremasi. n ta bog‘liqmas tajribaning har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli p nolga shunday intilsaki,natijada bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.

Tajribalar soni n yetarlicha katta bo‘lganda P_n(k) ehtimollarni Bernulli formulasi bo‘yicha hisoblash katta qiyinchiliklarga olib keladi. Bunday xollarda hisoblashni osonlashtiruvchi formulalarga (xatto ular izlanayotgan ehtimollning taqribiy qiymatini bersa ham) ehtiyoj tug‘iladi. Bunday formulalar asimtotik formulalar deyiladi. Quyida shunday formulalar bilan tanishamiz.

Har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli p (0<p<1) ga teng bo‘lgan n ta bog‘liq bo‘lmagan tajribada hodisaning k marta ro‘y berish ehtimoli (n yetarlicha katta bo‘lganda) taqriban ga teng. Bu yerda,

- funksiyaning qiymatlar jadvali 1-ilovada keltirilgan (x) juft funksiya, demak . Bu Laplasning lokal teoremasi deyiladi.

1-misol. Agar omborlarda saqlanayotgan mevaning buzilishlari ehtimoli 0,25 ga teng bo‘lsa, 243 t mevaning rosa 70 t sini buzilish ehtimolini toping.

Yechish. Masala shartiga ko‘ra n=243; k=70; p=0,25; q=0,75 ga teng. n yetarlicha katta bo‘lgani uchun Laplasning lokal teoremasidan foydalanamiz.

Bu yerda

x ning qiymatini topamiz:



Jadvaldan (1,37)=0,1561 ni topamiz. Buni Laplasning lokal formulasiga qo‘yib ni topamiz.