Furye (Fourier) Jan Batist Jozef fransuz matematigi, Parij fa aʼzosi

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI


MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
Tizimlar va signallarni qayta ishlash
Mustaqil ish
Bajardi: Xamidjonov Islom
Qabul qildi: G’ofurjonov Muhammadali


Toshkent 2022
1
Diskret Furye o'zgartirish algoritmi:

FURYE (Fourier) Jan Batist Jozef — fransuz matematigi, Parij FA aʼzosi (1817). Oserdagi harbiy maktabni tugatgan, oʻsha maktabda, keyin Politexnika maktabida oʻqituvchi boʻlib ishlagan (1796—98). Dastlabki ilmiy ishlari algebraga doyr. Asosiy ilmiy ishlari matematik fizikaga oid.

Furye o’zgartirish (f) – operatsiyasi moddiylik o’zgaruvchisini, boshqa funksiyaning moddiylik o’zgaruvchisiga solishtirish, bu yangi funksiya reja tuzishda boshlang’ich ajralish funksiyasini elimentar garmonika tebranishini har-xil chastotasi bilan amplituda koeffitsiyentini tavsiflaydi.
X[n] diskret signali N ta nuqtali davrga ega bo‘lsin. Bu holda uni diskret sinusoidlarning yakuniy qatori (ya’ni chiziqli kombinatsiya) ko‘rinishida keltirish mumkin:
1-formula

O‘xshash yozuv (har bir cosinusni sinus va kosinusga taqsimlaymiz, lekin endi – fazalarsiz):
2-formula



Bazisli sinusoidlar karrali chastotalarga ega. Qatorning birinchi a’zosi (k = 0) – signalning doimiy tashkil etuvchisi deb ataluvchi konstanta. Eng birinchi sinusoidlar (k = 1) shunday chastotaga egaki, uning davri dastlabki signalning o‘zi bilan mos. Eng yuqori chastotali tashkil etuvchi (k = N/2) shunday chastotaga egaki, uning dabri ikki hisobotga teng. Ak va Bk koeffitsienlari signal spektri deb ataladi.
2
Endi ko‘rib turganimizdek, har bir signal uchun Ak va Bk koeffitsientlarini aniqlash mumkin. Bu koeffitsientlarni bilgan holda har bir nuqtada Furye qatorining summasini hisoblagan holda dastlabki signalni tiklash mumkin. Signalni sinusoidlarga taqsimlanishi (ya’ni koeffitsientlarning olinishi) Furyening to‘g’ri o‘zgartirishi deb ataladi. Teskari jarayon – signalning sinusoidalar bo‘yicha sintezi – Furyening teskari o‘zgartirishi deb ataladi.
Furye teskari o‘zgartirish algoritm ochiq-oydin (u Furye qatorining formulasida mavjud; sintezni olib boorish uchun unga faqatgina koeffitsientlarni qo‘yib chiqish kerak). Furye to‘g’ri o‘zgartirishining algoritmini ko‘rib chiqamiz, ya’ni Ak va Bk koeffitsientlarning topilishi.
3-formula

n argumentdan funksiya tizimi N davrli davrli diskret signallari fazosida orthogonal bazis hisoblanadi. Bu unda fazoning har qanday elementini taqsimlash uchun tizimning barcha funksiyalari bilan elementning skalyar ko‘paytmalarini hisoblab, va olingan koeffitsientlarni normallashtirish degani. Shunda dastlabki signal uchun Ak va Bk koeffitsientlar bilan bazis bo‘yicha taqsimlash formulasi haqiqiy bo‘ladi.
Shunday qilib, Ak va Bk koeffitsientlari skalyar ko‘paytmalar sifatida hisoblanadi (uzluksiz holatda – funksiyalar ko‘paytmasidan integrallar, diskret holatda – diskret signallar ko‘paytmasi summalari):

4-formula

3

Hozirgacha biz haqiqiy signallardan DFO‘ ko‘rib chiqayotgan edik. Endi DFO‘ ni kompleksli signallar holati bilan birlashtiramiz. x[n], n=0,…,N-1– N kompleks sonlardan tashkil topgan dastlabki kompleksli signal bo‘lsin. X[k], k=0,…N-1 belgilaymiz – uning kompleksli spektri, shuningdek N kompleks sonlardan tashkil topgan. Shunda Furye to‘g’ri va teskari o‘zgartirishining quyidagi formulalari haqiqiy.

Fourier tahlili ma'lum bir intervalda cheksiz ko'p portlashlarni o'z ichiga olgan iboralarga taalluqli emas. Umuman olganda, Furye seriyasi, agar asl funktsiya haqiqiy jismoniy o'lchov natijasi bilan ifodalangan bo'lsa, har doim birlashadi. Ushbu jarayonning aniq funktsiyalar sinflari uchun yaqinlashishi masalalari matematikada yangi tarmoqlarning paydo bo'lishiga olib keldi, masalan, umumlashtirilgan funktsiyalar nazariyasi. Bu L. Shvarts, J. Mikusinskiy va J. Temple kabi ismlar bilan bog'liq. Ushbu nazariya doirasida Dirac delta funktsiyasi (u nuqtaning cheksiz kichik mahallasida jamlangan bitta maydon maydonini tavsiflaydi) va Heaviside "qadam" kabi iboralar uchun aniq va aniq nazariy asos yaratildi. Ushbu ish tufayli Furye seriyasi intuitiv tushunchalar paydo bo'ladigan tenglamalar va masalalarni echishda qo'llanila boshlandi: nuqta zaryadi, nuqta massasi, magnit dipollar, shuningdek nur ustiga konsentratsiyalangan yuk.
4

5-formula

1-rasm: Furyening dastur kodi

5
2-rasm: dastur kodining natijasi

Xulosa
Men bu mavzuni o’rganishda ixtiyoriy davrli funksiya uchun Furye qatori va koeffitsientlarini qanday hisoblash, [a, b] kesmada juft va toq funksiyalar uchun Furye koeffitsientlarini aniqlash, funksiyani juft va toq davom ettirish, yarim davrda berilgan funkiyani sinuslar va kosinuslar bo’yicha qatorga yoyishni o’rgandim. Shu bilgan birga Furye qatori yordamida qatorlarning yig’indisini topishni ham bilib oldim. Funksiyani Furye qatoriga yoyish tog’risida malumot keltirildi va mavjud muanmolar xal etildi.

6