Giperbolik tipdagi tenglamalar uchun turli yarim tekislikdagi xarateristikalarda berilgan chegaraviy masalalar haqida

Giperbolik tipdagi tenglamalar uchun turli yarim tekislikdagi xarateristikalarda berilgan chegaraviy masalalar haqida.
Quydagi
(1)
tenglamani quydagi xarakteristik chiziqlar

bilan chegaralangan D xarakteristik tortburchak sohaga qaraymiz.
Agar va xarakteristik uchburchak sohalarni mos ravishda va deb belgilasak u holda bo’ladi.

Ushbu sohada (1) tenglama uchun quydagi masalani o’rganamiz.

Masalani qo‘yilishi.
Quydagi xossalarga ega bo’lgan funksiya topilsin:
1)
2) Ihtiyoriy nuqta uchun limit mavjud va

ulash shartini bajarilsin
3) sohalarda (1) tenglamani qanoatlantiradi
4) (2)
(3)
chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin;
bu yerda: berilgan funksiyalar bo’lib,

lar esa (1) tenglamaning nuqtadan chiquvchi xarakterstikasining va xarakteristikalar bilan kesishish nuqtalari.

Yuqoridagidan ko’rish qiyin emaski va hamda va nuqtalari turli yarim tekisliklarda joylashgan. Shuning uchun (2) va (3) shartlar qidirlayotgan noma’lum funksiyaning turli yarim tekisliklardagi xarakteristkalardagi qiymatlarni bog’lovchi nolakal (siljishli) shart xisoblanadi.
Qo’yilgan masala yechimini
(4)
ko’rinishda qidiramiz.
Bu yerda va lar topilishi lozim bo’lgan hozircha noma’lum funksiyalar bo’lib (4) ko’rnishdagi funksiya (1) ning sohadagi yechimi bo’lishi uchun bo`lishi lozim va funksiyalarning shunday aniqlaymizki (4) funksiya (2) va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin.
Avval (4)dan va larni hisoblaymiz


ushbu topilganlarni (2) va (3) ga qo’yib quydagilarga ega bo’lamiz:


(5)
(6)
(5) va (6) tengliklar va sohalardan olingan dagi va lar o’rtasidagi asosiy funksiyanal munosabatlar deyiladi. Demak qo’yilgan masalani yechish uchun (5), (6) tenglamalar sistemasidan va funksiyani aniqlashimiz kerak ekan.
Agar (5),(6) tenglamalar sistemasidan talab etilgan hossalarga ega va funksiyalarni bir qiymatli aniqlasak u holda qo’yilgan masalaning sohalardagi yechimi (4) formula bilan aniqlanadi.
Teorema: Agar quydagi
(7)
shartlar o’rinli bo’lsa , u holda masalani yagona yechimi mavjud bo’ladi
Isbot. Avval qo’yilgan masala yechimini yagonaligini isbotlaymiz.
Buning uchun qo’yilgan masalaga mos bir jinsli masalani, yani bo’lgan maslani qaraymiz.
Aytaylik, funksiya bir jinsli masalaning yechimi bo’lsin. U holda (5), (6) dan
(8)
(9)
tengliklarni hosil qilamiz.
Aytaylik (7) shart bajarilsin u holda (8), ((9) dan
(10)
(11)
larni hosil qilamiz.
(8) dan da ekanligini topamiz. Shuning uchun (10) dan ekanini etiborga olib , ekanligi kelib chiqadi.
Agar ekanligi etiborga olsak (11) dan

kelib chiqadi.
Ohirgi tenglikning har ikki tomonidan bo’yicha hosila olsak ni hosil qilamiz. Demak ekanligidan (4) dan ekanligi kelib chiqadi , ya’ni qo’yilgan masala yechimi yagona ekan.
Endi, masala yechimi mavjudligini ko’rsatamiz.
Agar (7) shart bajarilsa u holda (5) dan bo’lganda bo’lib
(12)
ga ega bo’lamiz.
Agar ekanligini etiborga olsak funksiya uchun ham sinfga tegishli bo’ladi,
bo’lganda (6) dan
(13)
kelib chiqadi
Agar (13) ning har ikki tomonidan bo’yicha hosila olsak , dan ekanidan
(14)
kelib chiqadi.
, , ekanligidan (14) ko`rinishda aniqlangan va shart o`rinli bo`ladi.
Shunday qilib, teorema shartlari bajarilganda qo’yilgan masalaning yagona yechimi mavjud hamda bu yechim (4) ko’rnishda yoziladi, bu yerdagi va esa (12) va (14) ko’rinishda aniqlanadi.
Aytaylik , bo’lsin. U holda (5) va (6) da
(15)
(16)
bo’lib,
va va
deb belgilash kiritsak, (15), (16) larni
(17)
(18)
ko’rinishda yozishimiz mumkin.
Masala yechimni yagonaligini isbotlash uchun mos bir jinsli masala yechimning aynan nolga teng ekanligini ko’rsatishimiz lozim. Shuning uchun mos bir jinsli masalani qaraydigan bo’lsak (17), (18) dan
(19)
(20)
larga ega bo’lamiz.
Quydagi
(21)
integralni qaraymiz.
(19) ni (21) ga qo’ysak quydagilarga ega bo’lamiz.
(22)
(23)
Agar
(24)
(25)
tengliklar o`rinli ekanligini etiborga olsak (22), (23) larni
(26)
(27)
ko`rinishida yozib olamiz, (26), (27) lardagi integrallarni bo`laklab integrallasak
(28)
(29)
tengliklarga ega bo`lamiz.
Agar, bo`lganda (28), (29) tengliklardan bir vaqtning o`zida ekanligi, bundan ekanligi kelib chiqadi.
bo`lsa ekanligidan (28) ((29)) dan:
ga ega bo`lamiz. Oxirgi tenglikni bo`yicha differensiallab

ekanini topamiz, u holda (19) ((20)) dan ekanligi kelib chiqadi.
Demak da bo`lib bundan (4)ga asosan va sohalarda ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, mos bir jinsli masala yechimga ega bo`lganligidan qo`yilgan masalaning yechimi mavjud bo`lsa, u yagna bo`lar ekan.