Грин формуласи ва унинг татбиқлари

Грин формуласи ва унинг татбиқлари


1⁰. Грин формуласи. Текисликда ушбу

ҳамда

чизиқлар билан чегараланган тўпамни олайлик, бунда ва функ­ция­лар да узлуксиз. (51-чизма)

51-чизма
Равшанки, нинг чегараси (контори) қуйидаги I, II, III, IV чизиқ­ларга ажралади (бунда ва чизиқлар нуқталарга айланиши мумкин).
Айтайлик, да функция узлуксиз бўлиб, у узлуксиз хусусий ҳосилага эга бўлсин. Ушбу

эгри чизиқли интегрални қараймиз. Уни қуйидагича

ёзиб оламиз. ва чизиқлар ўқига перпендикуляр бўл­ган­лиги сабабли

бўлиб,

бўлади.
Энди,



бўлишини эътиборга олсак, унда
(1)
тенгликка эга бўламиз.
Фараз қилайлик, текисликдаги тўпам шундай бўлсинки, уни (верти­кал чизиқлар ёрдамида) юқоридаги каби ­ларга ажратиш мумкин бўлсин. (52-чизма)

52-чизма
Бундай тўпам учун ҳам (1) формула ўринли бўлади:
.
Энди текисликда ушбу

ҳамда

чизиқлар билан чегараланган тўпамни олайлик, бунда , функциялар да узлуксиз. (53-чизма)

53-чизма
Равшанки, нинг чегараси (контори) қуйидаги I, II, III, IV чизиқларга ажралади (бунда ва чизиқлар нуқталарга айланиши мумкин).
Фараз қилайлик, да функция узлуксиз бўлиб, у узлуксиз хусусий ҳосилага эга бўлсин. Ушбу

эгри чизиқли интегрални қараймиз. Уни қуйидагича

ёзиб оламиз. ва чизиқлар ўқига перпендикуляр бўлганлиги сабаб­ли

бўлиб,

бўлади.
Энди



бўлишини эътиборга олиб топамиз:
. (2)
Айтайлик, текиликдаги тўпам шундай бўлсаки, уни (горизонтал чизиқ­лар ёрдамида) юқоридаги каби ларга ажра­тиш мумкин бўлсин. (54- чизма)

54- чизма
Бундай тўпам учун ҳам (2) формула ўринли бўлади:

Фараз қилайлик, текиcликдаги тўпам юқоридаги ва лар хусусиятига эга бўлиб, унда функциялар узлуксиз ва узлуксиз хусусий ҳосилаларга эга бўлсин. У ҳолда ва функциялар учун бир йўла (1) ва (2) формулалар ўринли бўлади. Уларни ҳадлаб қўшиб топамиз:
. (3)
Бу Грин формуласи дейилади. Демак, Грин формуласи тўплам бўйича олин­ган икки каррали интеграл билан шу тўплам чегараси бўйича олинган эғри чизиқли интегралнинг боғланишини ифо­да­лайди.
2⁰. Грин формуласининг баъзи бир тадбиқлари. Айтайлик, юқорида кел­ти­рилган бир боғламли тўпламда функциялар узлуксиз ва узлуксиз хусусий ҳосилаларга эга бўлсин. У ҳолда Грин формуласи (3) ўринли бўлади.
Грин формуласидан фойдаланиб, текис шаклнинг юзининг эгри чизиқ­ли интеграл ёрдамида ифодаланишини, якобианнинг геометрик маъно­сини ва баъзи тасдиқларнинг эквивалент­лигини кўрсатиш мумкин.
1) Текис шакл юзининг эгри чизиқли интеграл орқали ифода­ланиши. Айтай­лик, функциялар тўпламда юқорида келти­рил­ган шартлар­ни қаноатлантириши билан бирга ушбу

шартни ҳам қаноатлантирсин. Унда

бўлиб, Грин формуласига кўра

бўлади. Хусусан,

ёки

ёки

бўлса,

бўлиб, тўпламнинг юзи
(4)
бўлади.
2) Якобианнинг геометрик маъноси. Фараз қилайлик, текисликда тўплам берилган бўлиб, унинг чегараси (контори) бўлсин. (55-чизма). текис­ликда эса тўплам берилган бўлиб, унинг чегараси (контори) бўлсин. (56-чизма).

55-чизма 56-чизма
Айтайлик, ва тўплам нуқталари ўртасида ўзаро бир қийматли мослик ўрнатилган бўлиб, улар ушбу

формула билан ифодалансин. Бунда функциялар ёпиқ тўплам­да узлуксиз ва узлуксиз хусусий ҳосилаларга эга бўлсин.
тўплам чегараси чизиқ ушбу

параметрик тенглама билан ифодалансин. Бунда функ­ция­лар оралиқда узлуксиз ва узлуксиз ҳосилаларга эга. Унда тўпламнинг чегараси ушбу

тенгламалар системаси билан аниқланади. Бунда нинг нуқта­ла­рига нинг нуқталари мос келади.
Маълумки,
. (5)
Бу тенгликнинг ўнг томонидаги интеграл учун
(6)
бўлади. ( параметр дан га қараб ўзгарганда эгри чизиқ мусбат йўналиш­да бўлса, эгри чизиқнинг йўналиши мусбат ҳам, манфий ҳам бўли­ши мумкин. Шунинг учун