Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar

 

IKKINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR

 

 

 

31.1. 

8

7

0

y

y

y

′′

′

−

+

=

 tenglama umumiy yechimini quring. 

             

Yechish.

  Xarakteristik tenglama 

2

8

7

0

λ

λ

−

+ =   ko`rinishga ega 

va uning ildizlari 

1

2

1,

7.

λ

λ

=

=

  Natijada,  chiziqli erkli 

7

1

2

;

x

x

y

e

y

e

=

=

 

yechimlarni olamiz. Tenglamaning umumiy yechimi: 

7

1

2

.

x

x

y

C e

C e

=

+

    

►

 

 

 

O`zgarmas  koeffitsientli  chiziqli  bir  jinsli  differensial  tenglamalarning 

umumiy yechimini toping. 

 

31.2. 

'' 2 '

0;

y

y

y

+

+ =  

31.3. 

'' 6 ' 25

0;

y

y

y

+

+

=  

31.4. 

'' 4 '

0.

y

y

−

=  

 

31.5.     " 4 ' 5

12sin

4cos

y

y

y

x

x

−

+

=

+

  tenglamaning xususiy yechimini 

toping.  

Yechish.

  

 Xarakteristik tenglamani yechamiz. 

 

2

4

5

0,

λ

λ

−

+ =  

2 i

λ

= ±

.  Bizning holatda 

0

α

=

  va 

1

β

=   bo'lib,  xarakteristik 

tenglamaning ildizi emas. Demak, xususiy yechim quyidagicha qidiriladi 

 

sin

cos

y

A

x

B

x

=

+

.  

Funksiya hosilalarini aniqlaymiz: 

cos

sin

y

A

x

B

x

′ =

−

 

sin

cos

y

A

x

B

x

′′ = −

−

. 

, ,

y y

y

′ ′′

 

ifodalarni tenglamaga qo`yamiz va soddalashtiramiz 

(

sin

cos )

4( cos

sin )

5( sin

cos )

A

x

B

x

A

x

B

x

A

x

B

x

−

−

−

−

+

+

 

31 

 

? 

 

12sin

4cos

x

x

=

+

yoki 

 

(4

4 )sin

(4

4 ) cos

12sin

4cos

A

B

x

B

A

x

x

x

+

+

−

=

+

. 

Bundan 

 

4

4

12,

4

4

4,

A

B

B

A

+

=





−

=



  

yoki 

1,

2

A

B

=

= . Xususiy yechim  

 

sin

2cos .

xususiy

y

x

x

=

+

  

Demak, umumiy yechim 

 

2

1

2

(

sin

cos ) sin

2cos

x

y

e

C

x

C

x

x

x

=

+

+

+

, 

bu yerda 

1

C

 va 

2

C

 ixtiyoriy o'zgarmas sonlar

 

►

 

 

 

O`zgarmas  koeffitsientli  chiziqli  bir  jinsli  differensial  tenglamalarning 

umumiy yechimini toping. 

 

31.6. 

) ''

0; ) 4 '' 8 ' 5

0; ) '' 6

10

0

a y

y

b

y

y

y

c y

y

y

− =

+

−

=

−

+

=  

31.7. 

) '' 10 '

0; ) '' 6 ' 8

0; ) 4 '' 4 '

0

a y

y

b y

y

y

c

y

y

y

+

=

−

+

=

+

+ =  

31.8. 

) '' 25

0; ) '' 6 ' 9

0; ) '' 2 ' 2

0

a y

y

b y

y

y

c y

y

y

+

=

+

+

=

+

+

=  

31.9. 

) '' 5

0; )9 '' 6 '

0; ) '' 6 ' 8

0

a y

y

b

y

y

y

c y

y

y

+

=

−

+ =

+

+

=  

31.10.  ) 6 '' 7 ' 3

0; ) '' 16

0; ) 4 '' 4 '

0

a

y

y

y

b y

y

c

y

y

y

+

−

=

+

=

−

+ =  

31.11.  ) '' 6 ' 13

0; ) '' 2 ' 15

0; ) '' 8 '

0

a y

y

y

b y

y

y

c y

y

−

+

=

−

−

=

−

=  

31.12.  ) '' 6 ' 10

0; ) '' 4 ' 4

0; ) '' 5 ' 4

0

a y

y

y

b y

y

y

c y

y

y

+

+

=

−

+

=

−

+

=  

 

O`zgarmas  koeffitsientli  chiziqli  bir  jinsli  bo`lmagan  differensial 

tenglamalarning umumiy yechimini toping. 

 

31.13. 

2

'' 2 ' 37

37

33

74

y

y

y

x

x

+

+

=

−

+

 

31.14.  '' 4 ' 15

x

y

y

e

+

=

 

31.15. 

2

'' 4 ' 5

(24sin

8cos )

x

y

y

y

x

x e

−

−

+

=

+

 

? 

? 

31.16.  '' 3 '

11cos

7sin

y

y

y

x

x

+

− =

−

 

31.17.  '' 4 ' 29

104sin 5

y

y

y

x

−

+

=

 

31.18.  '' 4 ' 20

4cos 4

52sin 4

y

y

y

x

x

+

+

=

−

 

31.19.  '' 2 ' 24

6cos3

33sin 3

y

y

y

x

x

+

−

=

−

 

31.20. 

2

'' 16

80

x

y

y

e

+

=

 

31.21.  ''

'

4cos

2sin

y

y

x

x

+

= −

−

 

31.22.  '' 4 ' 29

26

x

y

y

y

e

−

+

+

=

 

31.23. 

5

'' 8 ' 25

18

x

y

y

y

e

+

+

=

 

31.24. 3 '' 5 ' 2

6cos 2

38sin 2

y

y

y

x

x

−

−

=

+

 

31.25. 

2

'' 5 '

72

x

y

y

e

+

=

 

31.26.  '' 4 ' 8 16

y

y

x

−

= −

 

31.27.  '' 3 ' 2

3cos

19sin

y

y

y

x

x

−

+

=

+

 

 

Iqtisodiy mazmundagi masalalarni yeching: 

 

31.28. Tovar va materiallar zahirasi hisobga olinadigan narx 

moslashuvchanligi 

[

]

(

)

d

s

d

s

p

Q

Q

Q

Q

α

β

=

−

−

−







  modelida 

0,3

α

=

, 

0,1

β

=

, 

35 0.5

d

Q

p

=

−

   va   

4 0.8

s

Q

p

= − +

  bo'lsin. Agar 

(0)

500,

(0)

2

p

p

=

=



 narx dinamikasini ifodolovchi  ( )

p t  funksiyani 

toping. 

31.29. Valrasa narx moslashuvchanligi 

(

)

p

Bp

mN

α

=

− 





, 

(

)

N

p

c

γ

=

−



 

modelida 

40 0.6

d

Q

p

=

−

, 

0,3

α

=

, 

0,1

γ

=

, 

0, 25

m

=

, 

500

c

=

,  

(0)

400,

p

=

 

(0) 1, 2

p

=



  bo'lsa,  narx dinamikasini ifodolovchi  ( )

p t  

funksiyani toping. 

 

 

 

? 

---

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