Иккинчи тур эгри чизиқли интеграл

Иккинчи тур эгри чизиқли интеграл

Режа:

1⁰. Иккинчи тур эгри чизиқли интеграл тушунчаси.
2⁰. Иккинчи тур эгри чизиқли интегралнинг мавжудлиги ва уни ҳисоб­лаш.
3⁰. Иккинчи тур эгри чизиқли интегралнинг баъзи тадбиқ­лари.


1⁰. Иккинчи тур эгри чизиқли интеграл тушунчаси. Текис­ликда (содда) узунликка эга бўлган эгри чизиқни қарайлик (48-чизма)



48-чизма
Бу эгри чизиқнинг бирор

бўлаклашини оламиз. Натижада эгри чизиқ

бўлакчаларга ажралади. нинг ва координаталар ўқлардаги проекциялари мос равишда ва бўлсин:

Айтайлик, эгри чизиқда функция берилган бўлсин. Ҳар бир да ихтиёрий нуқталарни олиб, сўнг бу нуқтадаги функциянинг қиймати ни ва ларга кўпайтириб, қуйидаги

йиғиндиларни ҳосил қиламиз. Бу йиғиндилар функцияга боғлиқ бўлиши билан бирга эгри чизиқни бўлаклашга ҳамда ҳар бир да олинган нуқталарга боғлиқ бўлади.
1-таъриф. Агар олинганда ҳам шундай сон топилсаки, эгри чииқнинг диаметри бўлган ҳар қандай бўлак­лаш учун тузилган йиғинди ихтиёрий нуқталарда

тенгсизлик бажарилса, функция эгри чизиқ бўйича интег­рал­ла­нувчи, сон ( сон) эса функциянинг иккинчи тур эгри чизиқли интеграли дейилади. У

каби белгиланади. Демак,

Келтирилган таърифдан қуйидаги келиб чиқади:
1) функциянинг эгри чизиқ бўйича иккинчи тур эгри чизиқ­ли интеграли иккита бўлади:
.
Айтайлик, эгри чизиғида ва функциялар берил­ган бўлиб, лар эса уларнинг иккинчи тур эгри чи­зиқ­ли интеграллари бўлсин. Ушбу

йиғинди иккинчи тур эгри чизиқли интегралнинг умумий кўриниши дейилади ва

каби белгиланади:
.
2) функциянинг иккинчи тур эгри чизиқли интеграл­лари эгри чизиқнинг йўналишига боғлиқ бўлиб,
,

бўлади.
3) Агар эгри чизиқ координаталар ўқига ( корди­на­талар ўқига) перпендикуляр бўлган тўғри чизиқ кесмадан иборат бўлса

бўлади.
Айтайлик, содда ёпиқ эгри чизиқ бўлсин. Бу ҳолда
ва нуқталар устма-уст тушади. (49-чизма)

49-чизма
Ёпиқ эгри чизиқ да чизмада кўрсатилганидек икки йўналиш бўлиб, улар­дан бири мусбат иккинчиси эса манфий бўлади.
Агар кузатувчи чизиқ бўйича харакатланганда билан чегара­лан­ган тўплам ҳар доим чап томонда қолса бундай йўналиш мусбат бўлади, акс ҳолда эса манфий бўлади.
Шу эгри чизиқда функция берилган бўлсин. чизиқда ихтиё­рий икки ва нуқталарни олайлик. Бу нуқталар эгри чизиқни иккита ва эгри чизиқларга ажратади.
Фараз қилайлик, қуйидаги

интеграллари мавжуд бўлсин. Ушбу

йиғинди, функциянинг ёпиқ эгри чизиқ бўйича иккинчи тур эгри чизиқ­ли интеграли дейилади. Уни

ёки

каби белгиланади. Бу ҳолда ёпиқ чизиқнинг мусбат йўналиши олинади. Демак,
.
Худди шунга ўхшаш

ҳамда умумий ҳолда

интеграллар таърифланади.
Айтайлик, фазодаги содда узунликка эга бўлган эгри чизиқ бўлиб, бу эгри чизиқда функция берилган бўлсин. Юқоридагидек функцияни иккинчи тур эгри чизиқли интеграллар таърифланади ва улар қуйидагича белгиланади:

.