Kompleks sonlar va ular ustida amallar. Eyler formulalari

Kompleks sonlar va ular ustida amallar.
Eyler formulalari
5.3.1 ko’rinishidagi ifoda kompleks son deyiladi, bunda va - xaqiqiysonlar, esa tenglik bilan aniqlanadi va u mavxum birlik deb ataladi.
va sonlar kompleks sonning mos ravishda xaqiqiyvakompleksqismideyiladiva ko’rinishida belgilanadi.
Agar bo’lsa , - xaqiqiy son, agar bo’lsa, - sof mavxum sonlar komplekssonningxususiyxolidir.
Agar , va ikki kompleks sonning mos ravishda xaqiqiyvamavxumqismlaritengbo’lsa, ya’ni va bo’lsa, bu komleks sonlar teng deyiladi, ya’ni .
Mavxumqismlariningishorasibilanginafarqqiluvchi va kompleks sonlar qo’shma kompleks sonlar deyiladi.

5.3.2. Agar va ikkita kompleks son berilgan bo’lsa, ularustidaalgebraikamallarquyidagichabajariladi.

,
,

,

.

Komplekssonlarnidarajagako’tarishikkihadnidarajagako’tarishkabibajariladi, bunda sonning darajalari quyidagi formulalar bo’yichaaniqlanadi:

va h.k.
Umuman,
1-misol.Ushbu kompleks sonlar berilgan bo’lsin ni xisoblang.
Yechish.Ketma-kethisoblaymiz:

Shundayqilib,

5.3.3. Xarbir kompleks son geometrikjihatdan koordinatalar tekisligining nuqtasi vektori bilan tasvirlanadi. Kompleks son tasvirlanadigan tekisligi deyiladi va kabi belgilanadi. xaqiqiy sonlar deb ataluvchi o’qnuqtalaribilantasvirlanadi.Sofmavhum sonlar deb ataluvchi o’qning nuqtalaribilantasvirlanadi

kompleks soniga mos keluvchi nuqtaningxolatini va qutb koordinatalari bilanxamaniqlashmumkin (22-shakl).
Bundakoordinatalarboshidan nuqtagacha bo’lgan masofaga teng soni deyiladi va bilan belgilanadi ; vektorning o’qining musbat yo’nalishi bilan xosil qilingan burchak deyiladi va u deb belgilanadi.

Xarqnday kompleks son uchun quyidagi formulalar o’rinlidir:

bunda ning bosh qiymati shartini qanoatlantiradi.
2-misol. kompleks sonning moduli va argumentini toping.
Yechish bo’lganligi uchun
tenglamadan argumentnitopamaiz:
.
Shundayqilib,
5.3.4. Komplekssonning ko’rinishidagi ifodasi kompleks sonning deyiladi.
Komplekssonning ko’rinishidagi ifodasi uning deyiladi.

Eylerning

formulasidanfoydalanib, kompleks son yozilishining ega bo’lamiz:

2-misolda kompleks sonning moduli va argumenti ekanini aniqlagan edik.
Shularniinobatgaolsak, busonningtrigonometrikvako’rsatkichklishakllarimosravishdaquyidagichabo’ladi:

5.3.5. Komplekssonlarniko’paytirish, bo’lish,darjagako’tarish, ulardanildizchiqarishdakompleks son yozilishiningtrigonometrikvako’rsatkichlishakllaridanfoydalaniladi:
Agar


bo’lsa, ushbuformulalaro’rinlidir:
,
,

Ohirgi formula deyiladi.

Trigonometrikyokiko’rsatkichlishakldagikomplekssondan darajali ildiz chiqarish uchun ushbu formuladan foydalaniladi:


ga qiymatlar berib, ildizning ta har xil qiymatlariga ega bo’lamiz
Ildizningbarcha ta qiymatlarini tasvirlovchinuqtalarninggeometriktalqinimarkaziqutbda, radiusi bo’lgan aylanaga ichki chizilganmuntazam burchakning uchlarini aylantirishdan iboratdir.

3-misol. ni hisoblang.

Yechish. 2-misol vaMuavrformulasidanfoydalanibquyidagiyechimgaegabo’lamiz:


4-misol. ni toping.
Yecish. son uchun Shu sababli uning trigonometrik shakli quyidagicha yoziladi.

darajali ildiz chiqarish formulasidan foydalanib, ushbuga ega bo’lamiz:

, bunda
ga ketma-ket qiymatlarini berib, ildizning uchala kiymatlarini topamiz:

,

5.3.6. Eylerning

formulasidarajadako’rsatkichikomplekso’zgaruvchidaniboratko’rsatkichlifunksiyanitrigonometrikfunksiyalarorqaliifodalaydi. Trigonometrikfunksiyalar va ko’rsatkichli funksiyalar orqali quyidagicha ifodalanadi:
= .

1. 
   Agar
   

ningqiymatinihisoblang.
J:

2. 
   kompleks sonlar berilgan.
   

ni hisoblang

J:

3. 
   kompleks tekislikda quyida berilgan shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtalar soxasini aniqlang:
   

1. 
   b)
   

v) g)
d)

3. 
   Quyidagikomplekssonlarnitrigonometrikvako’rsatkichlishakllaridaifodalang:
   

a) b) ; v) g)
J: a)

2. 
   
   

v)
g)

5. Quyidaginihisoblang:

a) ; b) ; v) .

J: a)

b)

v)

1. 
   Agar bo’lsa,
   

ni toping.
J:

Agar bo’lsa,

ni toping
J:
3. kompleks tekislikda quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtalar soxasini aniqlang:
a) b)
v) g)

4. Komplekssonlarnitrigonometrikvako’rsatkichlishakldaifodalang:
a) ; b) v) ; g)
J: a)
b) ;
v) ;
g)
5. Quyidagilarnihisoblang:
a) ; b) ; v) .

1. 
   
   

b)







v)