Конспект лекций для студентов 2 курса механико-математического

Асташова И.В.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Конспект лекций для студентов 2 курса механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова

(2-й поток)

1 семестр 2012-2013 уч.год

Москва 2012

Содержание

1. 
   Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Методы ин- тегрирования некоторых дифференциальных уравнений 1-го порядка. 3
   
   1. 
      Дифференциальное уравнение. Определение решения. 3
      
   2. 
      Дифференциальные уравнения первого порядка 3
      
      1. 
         Уравнения с разделяющимися переменными 5
         
      2. 
         Теорема существования и единственности решения задачи Коши 6
         
      3. 
         Обоснование метода разделения переменных. 6
         
      4. 
         Критерий единственности решения для уравнения y^′ = f (y) (необходимый и достаточный признак особых решений). 7
         
      5. 
         Однородные уравнения 9
         
      6. 
         Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли 10
         
      7. 
         Уравнения в полных дифференциалах 14
         
   3. 
      Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. 20
      
2. 
   Существование и единственность решения задачи Коши. Продолжение решений. Непрерывная зависимость решения от начальных условий, правой части и пара- метра. 22
   
   1. 
      Теорема существования и единственности решения задачи Коши 22
      
      1. 
         Лемма Гронуолла. 24
         
   2. 
      Теорема о продолжении решения задачи Коши. 26
      
      1. 
         Достаточные условия продолжаемости решения на весь интервал 27
         
   3. 
      Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий и правой части уравнения. 29
      
      1. 
         Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра. 30
         
3. 
   Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно первой производной. 30
   
4.