Координата базислари билан амаллар. Координаталарни алмаштириш

Маъруза №2
Координата базислари билан амаллар. Координаталарни алмаштириш
1. Ўзаролик муносабатлари.

Ковариант ва контравариант базис векторларнинг (4.8) ва (4.17) формулалар билан аниқланганлиги эътиборга олинса, уларнинг скаляр кўпайтмаси учун ушбу

(4.21)
ўзаролик муносабатлари ўринли эканлигини кўрамиз.
Масалан, ва қийматларни қабул қилганда

тенгликларини оламиз.
Демак, вектори ва векторларга перпендикуляр бўлади, ва векторлар орасидаги бурчак эса тўғри бурчакдан фарқли ва умуман олганда нолга тенг эмас (!).
Илова.* Кўпинча контравариант координата базиси ўзаролик муносабатлари ёрдамида киритилади:
ушбу (4.9) формулада

(4.9) формулада

кўринишдаги белгилашларни киритсак, (4.21) га кўра
векторлар ушбу

шартни қаноатлантиришини кўриш қийин эмас.
Бундан векторлар ковариант координата базисига қўшма бўлган нокомплонар векторлар учлигини ташкил этиши келиб чиқади. Демак ушбу векторлар учлигини координата базиси сифатида қабул қилиш мумкин.

3.Индексларни кўтариш ва тушириш амаллари.
Ўзаролик муносабатлари бўлмиш (4.21) ни мос равишда ва га кўпайтириб, сўнгра индекси бўйича йиғинди амалини бажарсак, ушбу


тенгликлар ўринли эканлигини кўрамиз. Бу ерда ва нокомпланар векторлар бўлганлигидан эса
(4.22)
муносабатлар - контравариант (ковариант) базис векторларнинг ковариант (контравариант) базис векторлар орқали ёйилмаси келиб чиқади.
Ўзаролик муносабатларини эътиборга олиб, индексларни кўтариш ва тушириш қоидасини берувчи (4.22) тенгликларнинг иккала томонини мос равишда ва векторига кўпайтирамиз:

Бу ерда матрицаларни кўпайтириш қоидасидан(!) фойдалансак,
(4.23)
муносабатлар, яъни мазкур матрица ва детерминантлар ўзаро тескари эканлиги келиб чиқади.Бу ерда Е бирлик матрица.
Элементар кўчиш векторининг ташкил этувчилари учун ҳам (4.22)га ўхшаш индексни кўтариш ва тушириш қоидалари мавжуд. Ҳақиқатдан, элементар кўчиш вектори учун ўринли бўлган

ёйилмаларда (4.22) дан фойдаланиб, векторини орқали ёзсак,

тенгликни, ни орқали ёзсак эса

тенгликни оламиз.
Бу тенгликлардан, ва лар эркли векторлар бўлгани туфайли,
(4.24)
муносабатлар келиб чиқади. Бу муносабатлар элементар кўчиш векторининг ковариант (контравариант) компоненталарини контравариант (ковариант) компоненталари орқали ёйилмасини ёки уларнинг индексларини кўтариш ва тушириш қоидасини беради.
Изоҳ: ортогонал декарт координата системасида координата чизиқларининг урунмаси ва координата текислигининг нормали бир хил йўналган бўлиб, ушбу

муносабатлар ўринли бўлгани туфайли ягона базис мавжуд бўлади. Шу сабабли, бу системада индексларни юқорида ёки қуйида жойлаштиришнинг фарқи йўқ бўлиб, эркли ўзгарувчиларни ҳам кўринишда белгилаш мумкин.
4. Координата базиси элементлари устида амаллар.
Координата базиси элементларини оддий объект сифатида қараб, уларга нисбатан қуйидаги амаллар аниқланган деб ҳисоблаймиз.
Скалярга кўпайтириш ҳар қандай скаляр ва ихтиёрий объектга нисбатан аниқланган. Бирор скаляр ва оддий объект учун кўпайтма модули бўлган ва бўйлаб йўналган объектни билдиради.
Қўшиш. Иккита ихтиёрий оддий объект учун аниқланган бўлиб, коммутативлик ва дистрибутивлик хусусиятига эга:

Иккита оддий объектнинг йиғиндиси, мазкур векторлар ёрдамида ясалган параллелограмм диагоналига тенг.
Скаляр кўпайтириш ихтиёрий иккита оддий объект учун қуйидагича аниқланган:

Бу амал коммутативлик

ҳамда ушбу

хоссаларга эга.
Вектор кўпайтириш иккита ихтиёрий оддий объект учун аниқланган бўлиб, ушбу амал натижасида яна вектор ҳосил бўлади. Бу векторнинг ёйилмасини координата базисларининг бирортаси орқали ёзиш мумкин:

(4.30)

Вектор кўпайтириш амали учун ҳам

хоссаси ўринли, бироқ коммутативлик хоссаси ўринли эмас:

Ноаниқ (индефенит) кўпайтириш амали чекли сондаги оддий объектлар учун аниқланган бўлиб, кўпайтириш натижасида янги мураккаб, полиада деб аталувчи, объект ҳосил бўлади:
ва ҳ.
Иккита оддий объектни кўпайтириш натижасида ҳосил қилинган полиадани диада деб, учта объектни кўпайтириш натижасини эса триада деб аталади.
Бу амал учун ҳам ушбу

хосса ўринли, лекин коммутативлик хоссаси ўринли эмас

Полиада индексларининг сонига тенг бўлган объектларининг сони полиаданинг ранги деб аталади. Диада 2-ранг, триада 3-ранг полиада бўлади. n-ранг полиадалар одатда номерли индекслар ёрдамида ифодаланади:
ва ҳ.
5.1. Координата базиси элементларини алмаштириш қоидаси
Иккита-«эски» ва «янги» координаталар системаси берилган бўлиб, улар орасида ўзаро бир қийматли мослик мавжуд бўлсин, яъни «эски» С системадан «янги» системага ўтиш қоидасини берувчи
(5.1)
функциялар узлуксиз дифференциалланувчи ва алмаштириш якобиани
(5.2)
бўлсин. Демак қаралаётган соҳанинг ҳар бир нуқтаси атрофида (5.1) формулаларни ларга нисбатан ечиб, системадан С системага ўтиш қоидаларини берувчи
5.3)
формулаларни ёзиш мумкин.
Эслатма. Кейинги мавзуларда ҳам «эски» координата системани (ёки ) ва «янги» системани (ёки ) деб белгиланади.


ва лар С системанинг ва лар эса системанинг координата базислари бўлсин. Базис векторларнинг таърифига кўра:

(5.4)

формулалар, ёки

(5.5)

(5.6)
формулалар ўринли.
Ковариант базис векторларни алмаштириш қоидасини берувчи (5.5) формулалар ковариант алмаштириш қонуни деб ва контравариант базис векторларни алмаштириш қоидасини берувчи (5.6) формулалар контравариант алмаштириш қонуни деб аталади.

• 
  Мисол: 1) қуйидаги
  

(5.7)

алмаштириш қоидалари тўғри эканлиги кўрсатилсин.

2. 
   Ушбу
   

(5.8)

алмаштириш қоидалари исботлансин.

5.2. Элементар кўчиш вектори компоненталарини
алмаштириш қоидаси

Инвариант миқдор бўлган элементар кўчиш вектори С ва системаларнинг базислари орқали қуйидаги кўринишларда ифодаланади:

Бу ердаги ифодаларни (5.5) ва (5.6) қоидалар ёрдамида бир хил системадаги базис векторлар орқали ёзилса, ушбу

(5.9)

тенгликлар олинади.

Базис векторлар эркли бўлганлиги сабабли, (5.9) дан мазкур вектори компоненталарини алмаштириш қоидалари деб аталувчи ушбу муносабатлар

(5.10)
(5.11)

ўринли эканлиги келиб чиқади.