Ko’p o’lchovli taqsimotlar (ko’p o’lchovli taqsimotlarning zichlik funksiyalari va ularning xossalari.)

Ko’p o’lchovli taqsimotlar (ko’p o’lchovli taqsimotlarning zichlik funksiyalari va ularning 

xossalari.) 

Ikki o‘lchovlik tasodifiy miqdor uzluksiz deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi 

( , )

F x y

:                                            

1. uzluksiz bo‘lsa; 

2. har bir argumenti bo‘yicha differensiyallanuvchi; 

3. 

''

( , )

xy

F x y

 ikkinchi tartibli aralash hosila mavjud bo‘lsa. 

Ikki o‘lchovlik (X,Y) tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi  

 

2

''

( , )

( , )

( , )

xy

F x y

f x y

F

x y

x y







 

                                   (1) 

 

Tenglik orqali aniqlanadi. 

2. Ikki o‘lchovlik uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasining xossalari. 

 

( , )

f x y

 zichlik funkiyasi quyidagi xossalarga ega: 

1. 

( , ) 0

f x y



. 

2. 

{( , )

}

( , )

D

P X Y

D

f x y dxdy







.                                                     (3) 

3. 

( , )

( , )

y

x

F x y

f u v dudv

 



 

.                                                             (4) 

4. 

( , )

1

f x y dxdy

 

 



 

. 

5.  X  va  Y  tasodifiy  miqdorlarning  bir  o‘lchovlik  zichlik  funksiyalarini  quyidagi  tengliklar 

yordamida topish mumkin: 

( , )

( )

X

f x y dy

f

x









; 

( , )

( )

Y

f x y dx

f

y









.              (5) 

 

1-misol. (X,Y) ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning birgalidagi zichlik funksiyasi berilgan 

 

- -

,  agar 

0,

0

( , )

0,         aks holda. 

x y

Ce

x

y

f x y







 



 

 

Quyidagilarni toping: 1) O‘zgarmas son C; 2) 

( , )

F x y

; 3) 

( )

X

F

x

 va 

( )

Y

F y

;  

4) 

( )

X

f

x

 va 

( )

Y

f

y

; 5) 

{

0,

1}

P X

Y





.  

1) 

( , )

1

f x y dxdy

 

 



 

  tenglikdan  

0

0

0

0

1.

x y

x

y

C

e

dxdy C

e dx

e dy

C

 





 









 

 





 

2) 

0 0

0

0

( , )

(1

)(1

)

y

y

x

x

u v

u

v

x

y

F x y

e

dudv

e du

e dv

e

e

 















 









, 

0,

0

x

y





, 

ya’ni  

(1

)(1

),

0,

0,

( , )

0,                            aks holda.

x

y

e

e

x

y

F x y





 







 



 

 

3) 

0

0

0

( )

( ,

)

1

1

x

x

u

v

u

x

X

F

x

F x

e e dv du

e du

e

















 

 

 









 



, 

0

x



, demak  

 

(1

),

0,

( )

0,               

0.

x

X

e

x

F

x

x



 



 





 

 

Aynan shunday,  

 

(1

),

0,

( )

0,               

0.

y

Y

e

y

F x

y



 



 





 

 

4) 

'

'

(1

) ,

0,

,

0,

( )

( )

0,       

0,

0,                 

0,

x

x

x

X

X

e

x

e

x

f

x

F

x

x

x

































 

va  shu kabi 

,

0,

( )

0,       

0.

y

Y

e

y

f

y

y







 





 

 

5) 

1

1

0

0

0

1

{

0,

1}

(

1)

1

0.63.

x

y

x

P X

Y

e dx e dy

e

e dx

e















 

 



  







 

2-misol. Ikki tasodifiy miqdorning integral funksiyasi berilgan: 

 































.

0

,

0

,

,

0

,

0

,

0

,

3

3

3

1

)

,

(

y

x

y

x

y

x

F

y

x

y

x

 

Sistemaning differensial funksiyasini toping.  

Yechish. Ushbu formuladan foydalanamiz: 

y

x

F

y

x

f









2

)

,

(

. 

Hususiy hosilalarni topamiz:  

.

3

3

ln

),

3

3

(

3

ln

2

2

y

x

y

x

x

y

x

F

x

F































 

Shunday qilib,   























0

,

0

,

0

0

,

0

,

3

3

ln

)

,

(

2

y

x

y

x

y

x

f

y

x

 

 

1. Taqsimot funksiyasi 

 

2

2

2

2

2

2

1

, agar

0,

0,

,

0,

agar

0, yoki

0,

x

y

x

y

e

e

e

x

y

F x y

x

y





 

 











 







 

bo‘lgan ikki o‘lchovli 





,

 

 tasodifiy vektorning zichlik funksiyasini toping. 

 

2. Tasodifiy vektor 





,

 

 ning zichlik funksiyasi 











2

2

1

,

16

25

p x y

x

y







. 

Vektorning birgalikdagi taqsimot funksiyasini toping. 

 

3. Ikki tasodifiy miqdorning birgalikdagi zichlik funksiyasi 

















1

sin

, agar

,

,

,

2

0,

agar

,

.

x

y

x y

G

p x y

x y

G









 







 

bu  erda 









,

: 0

/ 2, 0

/ 2 .

G

x y

x

y







 

 

Tasodifiy  miqdorlar  birgalikdagi 

taqsimot funksiyasini toping. 

 

4. Ikki o‘lchovli 





,

 

 tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi 











2

2

2

,

3

1

C

p x y

x

y









. 

Quyidagilarni toping. 

a) o‘zgarmas 

C

 ning qiymatini; 

b) 





,

F x y

- birgalikdagi taqsimot funksiyani; 

s) 





,

 

  tasodifiy  nuqtani 

0,

0,

1,

1

x

y

x

y









  to‘g‘ri  chiziqlar  bilan  chegaralangan 

kvadratga tushishehtimolini. 

 

5. Ikki 



 va 



 tasodifiy miqdorlarning birgalikdagi zichlik funksiyasi 













1,

agar

,

,

,

0,

agar

,

.

x y

G

p x y

x y

G





 





 

bu  erda 





1

,

: 0

2, 0

1

.

2

G

x y

x

y

x







 

  









  Tasodifiy  miqdor 



  ning  zichlik 

funksiyasini toping. 

 

6. Ikki 



 va 



 tasodifiy miqdorlarning birgalikdagi zichlik funksiyasi 













, agar

,

,

,

0,

boshqa hollarda.

C x

y

x y

G

p x y







 



 

bu erda 









,

: 0

1, 0

1 .

G

x y

x

y



 

 

  Quyidagilarni toping:  a) o‘zgarmas 

C

  sonni:  b) 



 va 



 larning bir o‘lchovli zichlik funksiyalarini. 

7. Tasodifiy vektor 





,

 

 ning zichlik funksiyasi 











2

2

1

,

4

9

p x y

x

y







. 

Vektorning birgalikdagi taqsimot funksiyasini toping.