Лекция №20. Частные производные и дифференциал функции многих переменных. Приближенные вычисления. План

Лекция № 20.	Частные производные и дифференциал функции многих переменных. Приближенные вычисления.
План:	1. Частные производные первого порядка 2. Полный дифференциал первого порядка 3. Приближенные вычисления 4. Частные производные и полный дифференциал второго порядка

Частные производные первого порядка


Частной производной по переменной х функции в точке называется значение следующего предела
(1)
если он существует и конечен.
Частную производную (1) обозначают также
Частной производной по переменной у функции в точке называется значение следующего предела
(2)
если он существует и конечен.
Частную производную (2) обозначают также
Если частные производные определены на множестве и то они являются функциями двух переменных
Для функции трех переменных аналогично определяют три частные производные
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.
При нахождении частной производной по какому-либо аргументу другие аргументы считаются постоянными. Все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной справедливы для частных производных функции многих переменных.
Пример 1. Вычислить и функции Найти значения частных производных в точке (–1, 1).
Решение. Зафиксируем у, вычислим производную по х, пользуясь правилами дифференцирования (условно считаем y = const):

Тогда

Зафиксируем х, вычислим производную по у:

Тогда