Переменных 138. Частные производные

40-тема. Частная производная функций многих переменных
§ 1. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
138. Частные производные. Для упрощения записи и изложения мы ограничимся Случаем функций от трех переменных; все дальней­шее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.
Итак, пусть в некоторой (открытой) области имеем функцию u=f(x, у, z); возьмем точку /И₀(х₀, >₀, z₀) в этой области. Если мы припишем у и z постоянные значения у₀ и г₀ и будем изменять х, то и и будет функцией от одной переменной х в окрестности х_в; можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке х₀. Придадим этому значению х₀ приращение Дх, тогда функция получит приращение
f -Хв’
которое можно было бы назвать еечастным приращением (по х), поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По самому определению производной, она представляет собою предел
lim Ига /(*» + ¹>у₀, z„)
ix-t-О iJt -» О АХ
Эта производная называется частной производной функции /(х, _у, г) по х в точке (х₃, у₀, z₀). '
Как видим, в этом определении не все координаты равноправны, так как и фиксированы, а х меняется, стремясь к х₀.
Частную производную обозначают одним из символов:

(Г Л’ £>хЛ*₉> уе,



Заметим, что буква х внизу в этих обозначениях лишь указывает, по какой из переменных берется производная, и не связана с тем, в какой точке (х₀, у₀, z₀) мы производную вычисляем *).
Аналогично, считая х и г постоянными, а у переменным, можно рассматривать предел
lim Игл М** + 4У» у„
4jf-+G ty Ьу^-й АУ
Предел этот называется частной производной функции f (х,у, г) по у в точке (х₀, y_v г_й) и обозначается символами, аналогичными предыдущим:
^а>- О,И, D_yf(x„, _Л> г„).
Точно так же определяется и частная производная функции f(x, у, г) по г в точке (х₀, _у₀, гД
Самое вычисление частной производной по существу не пред­ставляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной.
Пример 1. z = х² - 2ху + 2у².
Решение. Дифференцируем функцию Z = F(X, Y) сначала по X, полагая У фиксированной величиной, потом повторяем эту же процедуру, меняя роли X и У. Получаем




dz

dz

di ^{= 2x}~^2v' ^ ^{= 4}^²¹-

п •» _ вг у дг х
Пример 2. г = arctgxy, — = —■ — = - -
ох 1 + (ту)² ду 1 + (ху)² Пример 3. « = уе»‘ + 1п(х² - 2у + г).
Ррешение. Частные производные этой функции трех переменных выражаются следующими формулами:
ди 2х Эи


х’-Эу + г
^⁼?-2у _{+ г}’^ ^{= (,+}»^г)е ’
вг ^{V +} х² —2у + г'

Заметим, что общепринятые обозначения частных производных (с круглыми д) следует рассматривать т о л ь к о как цельные символы, а не как частные или дроби.

139. 
     Полное приращение функции. Если, исходя из значений x = x_e, у=у^ z = z_Q независимых переменных, придать всем трем некоторые приращения Дх, Ду, Дд, то функция u=f(x,y, г) получит приращение
     

⁼⁼ А/ (-*да У<у *о) ⁼⁼f С*_о Av, /о Н^{- z}o Н^- f (-^о> У to Za),
которое называется полным приращением функции.
В случае функции _у=/(х) от одной переменной, в предполо­жении существования в точке х₀ (конечной) производной f (x_Q), для приращения функции имеет место формула [82, (2)]:
^д/ = А/(Ч) =/'(^хо) • Ах + а. Дх,
где а зависит от Дх и а->0 при Дх—►О.
Мы имеем в виду установить аналогичную формулу для прира­щения функции tt=f(x, у, г)'. bu = bf(x_Qi y_v г_й) =
=Д(*да /да ^о) - /» *«)'^Д/+Л0*о> /•> *о)-Д*-Н
—[— & * Дх —j— з * Ду —1 * Дif, (1)
где а, р, т зависят от Дх, Ду, Дд и вместе с ними стремятся к нулю. Однако на этот раз придется наложить на функцию более тяжелые ограничения, ,
1°. Если частные производные f_x (х, у, г), f'_y (х, у, z)_t f'_z (х, у, г) существуют не только в точке (х₀, у₀, г₀), но и в некоторой ее окрестности, и, кроме того, непрерывны (как функции от х, у, z) в этой точке, то имеет место формула (1).
Для доказательства представим полное приращение функции Д« в виде
Д« = [/(^ + Дх, у₀ + Ду, Zo+Дг)— /(x_fl, /, + Д/, г₀ + Дг)] +
Чг [/ (^хг /о + А/» “к —f /да ²оЧ~ ^²)1 +
+ [/(*да /о- *| + М—/да *•)]-
Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции лишь по одной переменной. Так как мы предположили существование частных производных в окрестности точки (х₀, у₀, г₀), то — при достаточной малости Дх, Ду, Дг — к этим разностям по

1именно частной производной.