Logarifmik tenglamalar

LOGARIFMIK TENGLAMALAR

Reja:

1. Logarifmik tenglamalar va ularni yechish turlari.

2. Ko’rsatkichli logarifmik tenglamalar.
3. Logarifmik tengsizliklar va ularni yechish usullari.
Tayanch iboralar: tenglama, tengsizlik, matnli, ekvivalent, taqqoslash,miqdor, zichlik

Logarifmik tenglamalar turli xil ko’rinishda va turli xil yechimga egadir. Murakkab ko’rinishdagi logarifmik tenglamalarni yechayotganda eng muhimi uning aniqlanish sohasiga va ko’rsatkichli logarifmik tenglamalarga e’tibor berish kerak.

1-misol. Tenglamani yeching.
log₃(x²-3x-5) = log₃(7-2x)
Yechish. 1-teoremaga asosan yuqoridagi misoldan quyidagi sistemani tuzamiz.
x²-3x-5 = 7-2x
x²-3x-5 >0
7-2x>0
sistemadagi tenglamani yechamiz.
x²-3x-5 = 7-2x
x²-x-12=0 => x₁=4, x₂=-3
x₁=4, x₂=-3 ildizlarni tuzgan sistemadagi birorta tengsizlikka qo’yamiz, tengsizlikni qanoatlantirsa berilgan tenglamani yechimi, qanoatlantirmasa berilgan tenglamani yechimi bo’lolmaydi. Demak, x₁=4 sistemadagi tengsizlikni qanoatlantirmaydi. x₂=-3 tengsizlikni qanoatlantirmaydi.Berilgan tenglamani ildizi x=-3
2-misol. Berilgan tenglamani yeching.
lg(x+4) + lg(2x+3) = lg(1-2x)
Yechish.Berilgan logarifmik tenglamani logarifmning xossasiga asosan quyidagicha yozamiz.
lg((x+4)(2x+3)) = lg(1-2x)
(x+4)(2x+3) =1-2x => 2x²+13x+11 =0 x₁=-1, x₂=-5,5 berilgan tenglamadan quyidagi sistemani tuzamiz.

x+4>0
2x+3>0
1-2x >0
tenglamani ildizlarini tuzilgan sistemadagi tengsizliklarni har biriga etib qo’yamiz. x₁=-1 sistemadagi tengsizlikni qanoatlantiradi. Demak, berilgan tenglamaning yechimi x=-1
3-misol. Tenglamaning kichik ildizini toping.
log₁₄x∙log_1,25x = log₁₄1,25
Yechish.Tenglikning chap tarafidagi ikkinchi ko’paytuvchini 14 asosga o’tamiz.


1)
2)
Javob: x=
4-misol. Tenglamani yeching.
log_x+4(x²-1) = log_x+4(5-x)
Yechish. Berilgan logarifmik tenglamadan quyidagi sistemani tuzamiz.

x²-1 = 5-x
x²-1>0
5-x>0
x+4>0
x+4≠1
sistemadagi tenglamani yechganimizda ildizlari x₁=2 va x₂=-3 bo’ladi va sistemadagi har bir tengsizlikka qo’yamiz.
x²-1>0
5-x>0
x+4>0
x+4≠1
x=2 quyidagi tengsizliklar sistemasini qanoatlantirdi, demak, berilgan logarifmik tenglamaning haqiqiy ildizi x=2
5-misol. Berilgan tenglamani yeching.

Yechish.






1)
2)
Javob:
6-misol. Tenglamani yeching.

Yechish. Berilgan logarifmik tenglamani barcha yig’indilarini 2asosliga keltiramiz.

davom qildirsak,

berilgan tenglamada x>0 deymiz, chunki, ya’ni log₂(x)=log₂x bo’ladi. U=log₂x o’zgartirish kiritamiz.

belgilab olgan tenglamaga qo’ysak,

va bu uchta tenglamani ildizi x₂=1, x₃=4
tenglamani uchala ildizi ham berilgan tenglamani qanoatlantiradi, demak, javobi: x₂=1, x₃=4
7-misol. Logarifmik tenglama ildizlari ko’paytmasini toping.

Yechish. Avval tenglamani qulay qilib soddalashtirib olamiz.




,

Demak, berilgan tenglamani ildizlari ko’paytmasi x₁∙x₂=125
8-misol. Tenglamani yeching.

Yechish . ga ko’ra, berilgan logarifmik tenglamani quyidagicha yozamiz.

U=lgx deb belgilab olamiz.

,
lgx=2 => x=100
Demak, berilgan logarifmik tenglamani ildizi x=100
9-misol. Berilgan logarifmik tenglamani yeching.

Yechish.




(x+0,375)>0
=> x>0
1+ log₁₆x + log₁₆(x+0,375) = 0
log₁₆x(x+0,375)=-1 => x(x+0,375)=
x² + 0,375 - = 0 => 16x² + 6x – 1 = 0



Javob: x=
10-misol. Logarifmik tenglamani yeching.
lg²x³ – lg(0,1x¹⁰) = 0
Yechish.
(lgx³)² – lgx¹⁰ – lg0,1 = 0
9lg²x – 10lg +1 = 0 => 9lg²x – 10lgx + 1 = 0
tenglamada = x deb olsak berilgan logarifmik tenglamaga asosan x>0 deb olamiz. lgx = u deb belgilab olib, quyidagi tenglamaga kelamiz:
9U² – 10U + 1 = 0 => U_1,2= 1;
lgx = 1, lgx =
birinchi tenglamaning ildizi x₁=10 va ikkinchi tenglamaning ildizi
Demak, berilgan logarifmik tenglamaning yechimi x₁=10, bo’ladi.
Endi biz ko’rsatkichli logarifmik tenglamalarga doir misollar qaraymiz.
Teorema. Agar a>0, b>0, c>0, c≠1 bo’lsa, formula o’rinli.
Isbot. Tengsizlikni chap qismidan foydalanib shakl almashtirishlar bajarib o’ng qismini keltirib chiqaramiz.



demak, teoremadagi tenglik o’rinli ekan.
11-misol. Tenglamani yeching.

Yechish. Aniqlanish sohasi x>0 bo’ladi. Yuqoridagi formulaga asosan:

bo’ladi. U holda


Javob: x=49
12-misol. Tenglamalar sistemasini yeching.

Yechish. Aniqlanish sohasi x>0, x≠1, y>0, y≠1, z>0, z≠1 shartlarni qanoatlantiradi. Teoremadagi formuladan foydalanib, shakl almashtirishlar bajaraylik. U holda
<=>
( 1) va (2) tenglamalardan kelib chiqadi.
Bundan
1) z=y² bo’lsin. U holda (2) foydalanish dan x=16 kelib chiqadi. (3)ga asosan bo’ladi.Bundan Bularni hisoblab olsak z=2²=4, z₂= U holda (16,2,4), (16, ) yechimlar kelib chiqadi.
2) Agar bo’lsa, (2) tenglamaga asosan x=16 bo’ladi. (3) tenglamaga asosan kelib chiqadi. U holda bo’ladi.
Javob: (16;2;4), (16; ),
13 -misol. Tenglamani yeching.

Yechish. Tenglamani aniqlanish sohasi x>0 tenglamani

ko’rinishida yozib yuqoridagi formuladan foydalanib quyidagicha belgilash kiritaylik:
t>0
U holda bo’ladi. Ikkala qismini t>0 ga bo’lsak hosil bo’ladi, yoki belgilashni hisobga olsak bo’ladi. log₃x=y deb belgilasak x=3^y bo’ladi. Oxirgi tenglamada bularni hisobga olsak, 5^y=9^y-4^y , bo’ladi. Bu tenglamani chap tomonini ikkala kamayuvchi funksiyaning yig’indisi sifatida kamayuvchidir. O’ng tomoni esa o’zgarmas sondan iborat. Bu tenglamani yagona y=1 ildizini tanlash yo’li bilan osongina toppish mumkin. Belgilashni hisobga olsak log₃x=1, x=3
Javob: x=3
Agar a>0, a≠1, b>0, b≠1, log_ab>0 bo’lsa
(2)
formula o’rinli.
Isbot: (2) tenglikni ikkala qismini a asosga ko’ra logarifmlab, shakl almashtirish bajaraylik

demak, tenglik o’rinli ekan.
14-misol. Berilgan tenglamani yeching.

Yechish.Aniqlanish sohasini topaylik.
< =>
(2) formuladan foydalanib belgilash kiritaylik.
t>0
U holda
t⁴ - 12t² + 27 = 0
bikvadrat tenglama hosil bo’ladi. Undan ildizlarni topamiz. Belgilashni hisobga olsak:
1) bo’lsa,
2) t=3 bo’lsa,
Javob: , x₂=3
(2) formulani umumlashtiramiz. Umuman:
n ≥ 2, , a>0, a≠1, log_ab>0, b>0, b≠1 bo’lsa,
(3)
formula o’rinli.
Bu formula darslik va o’quv qo’llanmalarida uchramaydi. Ammo n=2 bo’lsa, (2) formula kelib chiqadi. Bu formula esa darsliklarda kam uchraydi.
15- misol. Tenglamani yeching.

Yechish: Aniqlanish sohasini topaylik.
< = >
(3) formulaga asosan tenglik o’rinli.
deb belgilaylik. Bu holda
t² - 72t + 512 = 0
kvadrat tenglama hosil bo’ladi. Bundan t₁=8, t₂=64 ildizlarni topamiz. Belgilashni hisobga olsak:
1)
2)
Javob: x₁=8, x₂=
16- misol. Tenglamani yeching.

Yechish: Berilgan tenglamani aniqlanish sohasi x>0 bo’ladi. : Berilgan tenglamani tenglikning ikki tarafini o’nli logarifmlaymiz va quyidagicha bo’ladi:

Quyidagi tenglamani belgilab olib yechamiz. U=lgx va quyidagi hosil bo’ladi:
(1 - U)U = -2
tenglamani yechsak, ildizlari quyidagicha bo’ladi.
U₁=-1, U₂ = 2
Bu ildizlarni belgilab olingan tenglamaga qo’ysak:
lgx =-1 ; lgx = 2
quyidagi tenglamani ildizi: x₁ = 0,1 , x₂= 100
Javob: berilgan tenglamaning ildizi: x₁ = 0,1 , x₂= 100
17- misol. Berilgan tenglamani yeching.

Yechish. Demak, berilgan tenglamadan quyidagiga keladi.

quyidagi tenglikni belgilab olish yo’li bilan yechamiz. va quyidagi tenglamaga hosil bo’ladi.
U²-3U-4=0 U₁=-1, U₂=4
belgilab olingan tenglamaga quyidagi ildizni qo’yib, berilgan tenglamani ildizini topib olamiz.

Demak, birinchi tenglamaga bo’lganligi uchun birinchi tenglamani yechimi berilgan tenglamani yechimi bo’lolmaydi. Demak, ikkinchi tenglamani yechadigan bo’lsak quyidagiga kelamiz.

Ikkinchi tenglamaning yechimi berilgan tenglamani qanoatlantirdi.
Javob: