Matematika” fanidan oraliq nazorat ishi 191-guruh bt va sti sirtqi yo’nalishi talabasi Yusupova Dilfuza. Boshlang‘ich funksiya tushunchasi

“Matematika” fanidan oraliq nazorat ishi 191-guruh BT va STI sirtqi yo’nalishi talabasi Yusupova Dilfuza.

Boshlang‘ich funksiya tushunchasi.

Biz F(x) funksiya berilganda uning hosilasini yoki differensiali ni topishni ko'rdik. Endi esa teskari masalani qaraymiz. f(x) funksiya berilgan: shunday F(x) funksiyani topish kerakki, uning hosilasi f(x) ga teng bo‘lsin, ya’ni

F’(x) = f(x) (1) bo‘lsin.

Ta’rif. Agar [a,b] kesmada aniqlangan f(x) funksiya uchun bu kesmaning barcha nuqtalarida F’(x)=f(x) tenglik bajarilsa, F(x) funksiya shu kesmada f(x) funksiyaga nisbatan boshlang‘ich funksiya deb ataladi.

Misol: f(x)=x⁴ funksiyaga nisbatan boshlang‘ich funksiya topilsin. Boshlang‘ich funksiya ta’rifiga asosan F(x)= funksiya boshlang‘ich ekani kelib chiqadi, chunki =x⁴

Agar f(x) funksiya uchun boshlang‘ich funksiya mavjud bo‘lsa, u boshlang‘ich yagona bo‘lmasligini ko'rish oson. Masalan:

lar ham f(x)=x⁴ funksiya uchun boshlang‘ich funksiyalardir.

Agar F₁(x) va F₂(x) funksiya f(x) funksiyadan [a,b] kesmada boshlang‘ich funksiyalar bo‘lsa, ular orasida ayirma o‘zgarmas songa teng bo‘ladi. Agar berilgan f(x) funksiya uchun qanday bo‘lmasin birgina F(x) boshlang‘ich funksiya topilgan bo‘lsa, f(x) funksiya uchun har qanday boshlang‘ich funksiya F(x)+C ko‘rinishga ega bo‘ladi.

Aniqmas integral va uning xossalari.

Ta’rif. Agar F(x) funksiya biror kesmada f(x) funksiya uchun boshlang‘ich bo‘lsa, F(x)+C ifoda F(x) funksiyadan aniqmas integral deb ataladi va ushbu ko‘rinishda belgilanadi. Ta’rifga ko‘ra F’(x)=f(x) bo‘lsa, bo`ladi.

Bunda f(x) funksiya integral ostidagi funksiya, f(x)dx integral ostidagi ifoda, - belgi integral belgisi deb ataladi.

Shunday qilib, aniqmas integral y=F(x)+C funksiyalar to‘plamidan iborat. Geometrik nuqtai nazaridan qaraganda aniqmas integral egri chiziqlar to‘plamidan (oilasidan) iborat bo‘lib, ularning har biri egri chiziqlardan bittasini o‘z-o‘ziga parallel holda yuqoriga yoki pastga, ya’ni Oy o'q bo'ylab siljitish yo‘li bilan hosil bo‘ladi. Har qanday f(x) funksiya uchun ham boshlang‘ich funksiya mavjud bo‘laveradimi? Tekshirishlar har qanday funksiya uchun ham boshlang‘ich funksiya mavjud bo‘lavermasligini ko‘rsatadi. Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu funksiya uchun boshlang‘ich funksiya mavjud bo‘ladi. Berilgan f(x) funksiya bo‘yicha uning boshlang‘ich funksiyasini topish f(x) funksiyani integrallash deyiladi.

Aniqmas integral quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga teng, ya’ni F’(x)=f(x) bo‘lsa, u holda
   

2. 
   Aniqmas integralning differensiali integral ostidagi ifodaga teng.
   

3. 
   Biror funksiya differensialining aniqmas integrali shu funksiya bilan ixtiyoriy o‘zgarmas sonining yig‘indisiga teng.
   

4. 
   Biror funksiyaning hosilasidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan ixtiyoriy o‘zgarmasning yig‘indisiga teng, ya’ni
   
5. 
   Chekli sondagi funksiyalar algebraik yig‘indisining aniqmas integrali, shu funksiyalar aniqmas integrallarining algebraik yig‘indisiga teng.
   

Haqiqatan ham bu tenglikning chap va o‘ng tomonlarining hosilalarini topsak.

ga ega

bo‘lamiz. Demak, tenglikning chap, o‘ng tomonlarining hosilalari o‘zaro teng, ya’ni chap tomonda turgan har qanday boshlang‘ich funksiyaning hosilasi o‘ng tomonda turgan har qanday funksiyaning hosilasiga teng.

6. 
   O'zgarmas ko‘paytuvchini integral ishorasi ostidan chiqarish mumkin, ya’ni a=const bo‘lsa,
   

Buni isbotlash uchun ham hosila olamiz.

.

Aniqmas integrallarni hisoblaganda quyidagi qoidalarni nazarda tutish foydali:

1. 
   Agar bo‘lsa bo`ladi.
   

Haqiqatan ham,

2. 
   Agar bo‘lsa
   

3. Agar bo‘lsa

Misol: