Mavzu: Fure o’zgartirish prinsiplari

Mavzu: Fure o’zgartirish prinsiplari
Reja:

1.Fure almashtirishi.

2.Fure tezkor almashtirishi.
3.Veyvlet almashtirishi.

Signal va funksiyalarni odatdagicha, ularning qiymatlarini ma’lum argumentlar (vaqt, chiziqli yoki fazoviy koordinatalar va shunga o‘xshashlar)dan tashqari, ma’lumotlarga ishlov berish va ularni tahlil etishda signallarni argumenti dinamik shaklda ifodalashdagiga teskari bo‘lgan argumentli matematik ifodalardan ham keng foydalaniladi. Misol uchun, vaqtga teskari bo‘lgan argument bu chastotadir. Bu shaklda ifodalash ushbu signal o‘zining berilgan vaqt oralig‘ida cheksiz ko‘p bo‘lmagan qiymatlarga ega bo‘lsa, har qanday murakkab ko‘rinishdagi signalni nisbatan sodda, oddiy elementar signallar yig‘indisi orqali ifodalash mumkin, va xususiy holda oddiy garmonik tebranishlar yig‘indisi ko‘rinishida, ya’ni Fure almashtirishi orqali bajarilishi mumkin. Yuqoridagidan kelib chiqqan holda signalni elementar garmonik tashkil etuvchilarga yoyish uzluksiz yoki boshlang‘ich fazasi qiymatlari orqali ifodalanadi. Uzluksiz yoki diskret vaqt argumentlari ularga teskari bo‘lgan ifodalashga mos keladi. Signal yoyilgan garmonik tashkil etuvchilarning majmuasi ushbu signalning amplituda spektri deb ataladi va boshlang‘ich fazalar majmuasi faza spektri deb ataladi. Ushbu ikki spektr signalning to‘liq spektrini tashkil etadi va bu matematik ifoda o‘z aniqligi bilan signalni dinamik ko‘rinishda ifodalashga to‘liq mos keladi.

Fure garmonik qatoridan tashqari signalni yana boshqa ko‘rinishdagi elementar tashkil etuvchilarga yoyishlardan ham foydalaniladi, bular Uolsh, Adamar, Veyvlet va boshqalardir. Bundan tashqari Chebishev, Lagger, Lejandr polinomlari va boshqalarga yoyish usullari ham mavjud. Signallarga raqamli ishlov berishda Fure diskret almashtirishi (FDA) va uni tezkor hisoblash usuli – Fure tez almashtirishi (FTA) dan keng foydalaniladi. Bunga bir necha sabablar bor: ular chastotalar koordinatasida eng qisqa vaqt davom etadigan signallardan (s) tashqari signallarni to‘liq – aniq ifodalaydilar; chastota bo‘yicha qisqartirilgan Fure tashkil etuvchilari ma’lumotlarni boshqa darajali qatorlarga nisbatan aniqroq ifodalaydi. Uning alohida tashkil etuvchilari sinusoida ko‘rinishida bo‘lib, chiziqli tizimlar orqali uzatilganda buzilmaydi (o‘z shakllarini o‘zgartirmaydilar), shu sababli ulardan yaxshi sinov signallari sifatida foydalanish mumkin.Signallarni elementar tashkil etuvchilarga yoyishda asosiy shart bir qiymatlik va matematik ifodaning to‘liq mosligi – yoyilayotgan elementar funksiyalar o‘zaro ortogonal bo‘lishlari kerak. Ammo signal sifatli tahlil etilgan taqdirda ularning foydali fizik ma’lumotlarini aks ettirish uchun kerakli, o‘ziga xos xususiyatlarini ko‘rsatuvchi noortogonal funksiyalardan ham foydalanish mumkin. Signallarga raqamli ishlov berishda eng ko‘p qo‘llaniladigan signallarni yoyish usullarini ko‘rib chiqamiz.
Agar signal davriy bo‘lmasa, u holda Fure qatoriga yoyish moslashtiriladi. Misol tariqasida 6.1-rasmda keltirilgan to‘g‘ri burchakli impulslar ketma-ketligidan impulslar takrorlanish davri ni cheksizlikkacha davom ettirish natijasida yagona to‘rtburchakli impulsni hosil bo‘lishini ko‘rib chiqamiz. Davriy takrorlanuvchi to‘g‘riburchaklini kattalashtirib borilsa garmonikalar orasidagi bo‘lgan masofa gacha kichiklashib boradi va nolga teng bo‘ladi. Bu o‘zgaruvchi diskret chastota dan uzluksiz o‘zgaruvchi ga o‘tishga, shu bilan bir vaqtda fazaviy va amplitudaviy spektr ham uzluksiz bo‘lishiga olib keladi. Demak, bo‘lganda bo‘ladi. Ushbu o‘zgartirishlarni e’tiborga olsak (9.9) ifoda quyidagi ko‘rinishni oladi
Bu formuladagi Fure integrali yoki oddiygina Fure tasviri (ko‘rinishi) deb ataladi. ni haqiqiy va mavhum qismlari yig‘indisi shaklida quyidagicha ifodalash mumkin Amplituda spektriga mos ravishda faza siljishi quyidagicha aniqlanadi
Normallashtirilgan elektr quvvati, ya’ni qarshiligi 1 Om bo‘lgan qarshilikda ajralib chiqayotgan quvvat V2 larda baholanadi, bu Dj/s yoki Dj·Hz (Djoul bu energiya birligi)ni anglatadi, u holda V2/Hz2 kattalik DjHz·Hz-2= Dj·Hz-1 ga teng bo‘ladi. Demak bir taqsim Hz energiyani, ya’ni – spektr energiyasining zichligini anglatadi. ning ga bog‘liqligi grafigi ostidagi yuza asosi  va polosa chastotasi o‘rtacha kuchlanishini ifodalaydi. ning ga bog‘liqligi grafigi ostidagi yuza chastotadagi energiya o‘rtacha qiymatiga teng bo‘ladi. Bundan tashqari spektr tahlilida ko‘p hollarda spektr energiyasi zichligining chastotaga bog‘liqlik grafigi (chizmasi) ham quriladi.Agar impulsan oniy qiymat olish uning markaziga (qoq o‘rtasiga) mos kelsa, ya’ni bo‘lganda ushbu impulsning Fure shakli (ko‘rinishi) quyidagicha beriladi va haqiqiy hisoblanadi. funksiya uzluksiz bo‘lib, uning V, s va s qiymatlari uchun grafigi 9.2a-rasmda tasvirlangan. Bu amplituda spektri oniy qiymatlar funksiyasiga proporsional bo‘lib, hamma vaqt ideal past chastota filtriga to‘g‘riburchakli impuls ta’sirida hosil bo‘ladi, shu bilan birga har qanday davomiyligi bilan cheklangan impuls ta’sirida ham yuzaga kelishi mumkin.Amplitudasi 2V bo‘lgan impuls energiya spektral zichligi grafigi 9.2b-rasmda tasvirlangan, 9.2a-rasmda esa amplituda spektri tasvirlangan.Shuni alohida ta’kidlash kerakki, funksiyaning chastotaga bog‘liqligidan vaqt funksiyasiga Fure teskari almashtirishi yordamida o‘tish mumkin.
Texnologiyalar rivojlanishi bilan o'lchov ma'lumotlarini (signallarni) saqlash usullari o'zgargan. Agar ilgari signal magnitafonga yozib olinishi va magnitofonga analog shaklda saqlanishi mumkin bo'lsa, endi raqamlar raqamlangan (namunalar) to'plami sifatida kompyuter xotirasida fayllarga saqlangan.
Analog kirish signalini diskret kodga (raqamli signal) o'zgartiradigan moslama analog-raqamli konvertor (ADC) (Wiki) deb nomlanadi.ADCning asosiy parametrlaridan biri bu maksimal namlik chastotasi (yoki namuna olish chastotasi, inglizcha namuna tezligi) - namuna olish paytida doimiy uzluksiz signalning namuna olish chastotasi. Gertsda o'lchanadi.

bu erda ramzlar va mos ravishda kvadrat qavs ichiga o'rnatilgan qiymatning xayoliy va haqiqiy qismlarini anglatadi.
Fyurening o'zgarishi bizga f (x) (signal) oralig'ida aniqlangan trigonometrik funktsiyalarning (sinusoidlar va / yoki kosinus to'lqinlar) cheksiz soni (sinusoidlar va / yoki kosin to'lqinlari) yig'indisi sifatida berilgan (f) (x) (signal) uzluksiz funktsiyani ma'lum amplituda va fazalar bilan ifodalashga imkon beradi. (0, T). Bunday ketma-ket Fyur seriyalari deyiladi.Shuningdek, signallarni tahlil qilish uchun Furie transformatsiyasini to'g'ri qo'llash uchun tushunish kerak bo'lgan ba'zi fikrlarni ta'kidlaymiz. Agar butun X o'qi bo'yicha Fyur seriyasini (sinusoidlarning yig'indisi) ko'rib chiqsak, (0, T) intervaldan tashqarida Fury qatori bilan ifodalangan funktsiya vaqti- vaqti bilan funksiya takrorlanishi mumkin.
Ko'pincha, muammolarni hal qilayotganda, siz bir nechta qiymatlarning bitta shartini tekshirishingiz yoki ba'zi harakatlarni bir necha bor takrorlashingiz kerak. Alohida xatti-harakatlari ko'p marta takrorlanadigan algoritmlarga tsiklik struktura algoritmlari deyiladi. Bu sizga algoritm hajmini sezilarli darajada kamaytirishga, kerakli natijaga erishish uchun turli xil ma'lumotlar bo'yicha ko'p sonli bir xil hisob-kitoblarni takrorlashni tashkil etish orqali ixcham ravishda taqdim etishga imkon beradi.
Tsiklik - bu ma'lum bir ketma-ket harakatlar (qadamlar) guruhini kiritish ma'lumotlari yoki muammoning shartlariga qarab bir necha marta bajarilishi mumkin bo'lgan qurilish.
Algoritmning takrorlanadigan harakatlar to'plamiga tsikl deyiladi, ya'ni. tsiklik algoritmlar ichiga ko'chadan kiradi.
Tsiklning har bir bosqichida takrorlanadigan harakatlar guruhiga tsikl tanasi deyiladi.
Tsiklli algoritmlarga misollar: to'siqni bo'yash, abiturientlardan hujjatlarni qabul komissiyasida olish.
Tsikl algoritmi quyidagilarni o'z ichiga oladi:
1. Tsiklni tayyorlash - tsiklda ishlatiladigan dastlabki ma'lumotlarni sozlash bilan bog'liq harakatlar;
2. Tsikl tanasi - kerakli qiymatlarni hisoblash uchun takrorlanadigan harakatlar, shuningdek tsikl tanasida harakatlarni takroran bajarish uchun zarur bo'lgan qiymatlarni tayyorlash;
3. Tsiklni davom ettirish shartlari - tsikl tanasining keyingi bajarilishi zarurligini belgilaydigan harakatlar.Siz tsikllarni tashkil qilishingiz mumkin bo'lgan bir nechta tsiklli tuzilmalar mavjud. Ularni quyidagicha tasniflash mumkin.Raqamli texnologiyalar rivojlanishi bilan o'lchov ma'lumotlarini (signallarni) saqlash usullari o'zgargan. Agar ilgari signal magnitafonga yozib olinishi va magnitofonga analog shaklda saqlanishi mumkin bo'lsa, endi raqamlar raqamlangan (namunalar) to'plami sifatida kompyuter xotirasida fayllarga saqlangan.
Analog kirish signalini diskret kodga (raqamli signal) o'zgartiradigan moslama analog-raqamli konvertor (ADC) (Wiki) deb nomlanadi.ADCning asosiy parametrlaridan biri bu maksimal namlik chastotasi (yoki namuna olish chastotasi, inglizcha namuna tezligi) - namuna olish paytida doimiy uzluksiz signalning namuna olish chastotasi. Gertsda o'lchanadi.

bu erda ramzlar va mos ravishda kvadrat qavs ichiga o'rnatilgan qiymatning xayoliy va haqiqiy qismlarini anglatadi.

Ko'pgina hollarda signal spektrini olish (hisoblash) vazifasi quyidagicha. Fd namuna olish chastotasi bilan Fd uzluksiz signalni T vaqtidagi signalini raqamli namunalarga - N bo'laklarga o'zgartiradigan ADC mavjud. Keyinchalik namunalar qatori ba'zi raqamli qiymatlarning N / 2 ni ishlab chiqaradigan ma'lum bir dasturga kiritiladi

Eng yaqin nuqta juftligi Delon triangulyatsiyasidagi qovurg'ani aniqlaganligi va qora diagrammadagi ikkita ulashgan hujayraga mos kelishi sababli, ushbu ikki tuzilmadan biri berilgan bo'lsa, eng yaqin nuqta juftligi chiziqli vaqt ichida aniqlanishi mumkin. Delone triangulatsiyasini yoki qarg'aning diagrammasini hisoblash vaqtni O(n log n) oladi. Ushbu yondashuvlar D>2> o'lchamlari uchun samarali emas, ammo “ajratish va boshqarish” algoritmi O(n log n) har qanday doimiy o'lchov d qiymati uchun ish vaqti bilan umumlashtirilishi mumkin
Eng yaqin juftlikning dinamik vazifasi
Agar dinamik ob'ektlar bir qator berilgan bo'lsa, samarali yaqin ochko bir juft har safar ob'ekt joylashtirilgan yoki o'chirildi pereiglisleniya uchun algoritmlar va ma'lumotlar tuzilmalarni topish.

Eng yaqin nuqtalar juftligi topish vazifasi hisoblash geometriyasi vazifasidir. Misol uchun metrik bo'shliqda n nuqtalari berilgan, ular orasidagi eng kichik masofa bo'lgan bir necha nuqtani topish masalasini ko’rib chiqaylik. Evklid tekisligidagi eng yaqin nuqtalarning vazifasi geometrik algoritmlarning hisoblash murakkabligidan muntazam ravishda o'rganilishi kerak bo'lgan birinchi geometrik vazifalardan biri edi.

Barcha juftliklar orasidagi masofani topish uchun sodda algoritm d o'lchamlari va ular orasida eng kam tanlash O ( n 2) vaqt talab qiladi. Bu muammo Evklid kosmosda yoki sobit hajmi D l p kosmosda vaqtida hal qilinishi mumkin ekan. Algebraik yechim daraxtini hisoblash modelida vaqt bilan algoritm elementning o'ziga xosligi muammosini kamaytirish foydalanish qulay.. Hisoblash modeli qabul qilingan funktsiya - doimiy vaqt uchun hisoblab chiqilgan, vazifa vaqtida hal qilinishi mumkin . Agar biz randomizatsiyani zamin funktsiyasi bilan birga qo'llasak, muammoni O(n) vaqtida hal qilish mumkin
Bizga davri T = 2π bo'lgan funksiya berilgan bo`lsin, ya'ni f (x + 2π) = f (x). Berilgan funksiyaning Furye qatori va koeffitsiyentlari quyidagicha edi:

Quyida biz juft va toq funksiyalarning Furye qatori koeffitsientlarini hisoblash formulalarini keltirib chiqaramiz.

Agar f (x) funksiya [–a; a] da integrallanuvchi bo`lsa, u holda
f(x) funksiya toq bo’lsa,
f (x) funksiya juft bolsa, ya'ni
Ikkita juft funksiyalarning yoki ikkita toq funksiyalarning ko`paytmasi juft funksiya, juft

va toq funksiyalarning ko`paytmasi toq funksiya ekanligini va (7) ni e'tiborga olgan holda juft va toq funksiyalarning Furye qatori koeffitsientlarini hisoblaymiz.

f (x) funksiya davri T = 2π bolgan, [-π, π] da Dirixle shartlarini qanoatlantiradigan juft funksiya bo lsin.
Juft funksiya uchun Furye qatori faqat kosinuslardan iborat, bk = 0.
f (x) funksiya davri T = 2π bolgan, [-π, π] da Dirixle shartlarini qanoatlantiradigan toq funksiya bo lsin.
Toq funksiya uchun Furye qatori faqat sinuslardan iborat ekan, ao = 0, ak = 0
Bunday ketma-ket Fyur seriyalari deyiladi.Shuningdek, signallarni tahlil qilish uchun Furie transformatsiyasini to'g'ri qo'llash uchun tushunish kerak bo'lgan ba'zi fikrlarni ta'kidlaymiz. Agar butun X o'qi bo'yicha Fyur seriyasini (sinusoidlarning yig'indisi) ko'rib chiqsak, (0, T) intervaldan tashqarida Fury qatori bilan ifodalangan funktsiya vaqti- vaqti bilan funksiya takrorlanishi mumkin. Teskari diskret Fure o‘zgartirish esa aksincha, signalni spektral sohasidagi ifodalanishidan vaqt sohasiga tegishli miqdordagi nuqtalarga o‘tkazishga imkon beradi.
Fure garmonik qatoridan tashqari signalni yana boshqa ko‘rinishdagi elementar tashkil etuvchilarga yoyishlardan ham foydalaniladi, bular Uolsh, Adamar, Veyvlet va boshqalardir. Bundan tashqari Chebishev, Lagger, Lejandr polinomlari va boshqalarga yoyish usullari ham mavjud. Signallarga raqamli ishlov berishda Fure diskret almashtirishi (FDA) va uni tezkor hisoblash usuli – Fure tez almashtirishi (FTA) dan keng foydalaniladi. Bunga bir necha sabablar bor: ular chastotalar koordinatasida eng qisqa vaqt davom etadigan signallardan (s) tashqari signallarni to‘liq – aniq ifodalaydilar; chastota bo‘yicha qisqartirilgan Fure tashkil etuvchilari ma’lumotlarni boshqa darajali qatorlarga nisbatan aniqroq ifodalaydi. Uning alohida tashkil etuvchilari sinusoida ko‘rinishida bo‘lib, chiziqli tizimlar orqali uzatilganda buzilmaydi (o‘z shakllarini o‘zgartirmaydilar), shu sababli ulardan yaxshi sinov signallari sifatida foydalanish mumkin.Signallarni elementar tashkil etuvchilarga yoyishda asosiy shart bir qiymatlik va matematik ifodaning to‘liq mosligi – yoyilayotgan elementar funksiyalar o‘zaro ortogonal bo‘lishlari kerak. Ammo signal sifatli tahlil etilgan taqdirda ularning foydali fizik ma’lumotlarini aks ettirish uchun kerakli, o‘ziga xos xususiyatlarini ko‘rsatuvchi noortogonal funksiyalardan ham foydalanish mumkin. Signallarga raqamli ishlov berishda eng ko‘p qo‘llaniladigan signallarni yoyish usullarini ko‘rib chiqamiz.
Agar signal davriy bo‘lmasa, u holda Fure qatoriga yoyish moslashtiriladi. Misol tariqasida 6.1-rasmda keltirilgan to‘g‘ri burchakli impulslar ketma-ketligidan impulslar takrorlanish davri ni cheksizlikkacha davom ettirish natijasida yagona to‘rtburchakli impulsni hosil bo‘lishini ko‘rib chiqamiz. Davriy takrorlanuvchi to‘g‘riburchaklini kattalashtirib borilsa garmonikalar orasidagi bo‘lgan masofa gacha kichiklashib boradi va nolga teng bo‘ladi. Bu o‘zgaruvchi diskret chastota dan uzluksiz o‘zgaruvchi ga o‘tishga, shu bilan bir vaqtda fazaviy va amplitudaviy spektr ham uzluksiz bo‘lishiga olib keladi. Demak, bo‘lganda bo‘ladi. Ushbu o‘zgartirishlarni e’tiborga olsak (9.9) ifoda quyidagi ko‘rinishni oladi
Bu formuladagi Fure integrali yoki oddiygina Fure tasviri (ko‘rinishi) deb ataladi. ni haqiqiy va mavhum qismlari yig‘indisi shaklida quyidagicha ifodalash mumkin Amplituda spektriga mos ravishda faza siljishi quyidagicha aniqlanadi
Normallashtirilgan elektr quvvati, ya’ni qarshiligi 1 Om bo‘lgan qarshilikda ajralib chiqayotgan quvvat V2 larda baholanadi, bu Dj/s yoki Dj·Hz (Djoul bu energiya birligi)ni anglatadi, u holda V2/Hz2 kattalik DjHz·Hz-2= Dj·Hz-1 ga teng bo‘ladi. Demak bir taqsim Hz energiyani, ya’ni – spektr energiyasining zichligini anglatadi. ning ga bog‘liqligi grafigi ostidagi yuza asosi  va polosa chastotasi o‘rtacha kuchlanishini ifodalaydi. ning ga bog‘liqligi grafigi ostidagi yuza chastotadagi energiya o‘rtacha qiymatiga teng bo‘ladi. Bundan tashqari spektr tahlilida ko‘p hollarda spektr energiyasi zichligining chastotaga bog‘liqlik grafigi (chizmasi) ham quriladi
Signalni vaqt sohasidan spektral sohasiga o‘tkazish uchun asosiy algoritm - Fure o‘zgartirish hisoblanadi. Matematik jihatdan bu signalning garmonik tashkil etuvchilar yig‘indisidan tashkil topgan Fure qatorlari deb ataladi. Fure qatoridan foydalangan holda har qanday davriy signalni tavsiflash mumkin. Ushbu o‘zgartirishning muhim xususiyati shundaki, signalni vaqt sohasidan spektral sohasiga o‘tkazish, aksincha, signalni spektral sohasidan vaqt sohasiga o‘tkazish protseduralari mavjud. Ushbu protseduralar to‘g‘ri va teskari Fure o‘zgartirishlari deb nomlanadi To‘g‘ri diskret Fure o‘zgartirish kirish signalining cheklangan sonli qiymatlari (2n) bo‘yicha amalga oshiriladi, bu signalni vaqti-vaqti bilan spektral ko‘rinishga o‘tkazishga imkon beradi. Spektral koyeffitsiyentlar F(k) signalning kirish qiymatlarini Fure funksiyalari - sinuslar va kosinuslar bilan svyortkalash (juftliklar asosida ko‘paytirish) natijasida olinadi. Sin va Cos asos funksiyalari fazaviy tekisligining 0 va 90 burchak nuqtalarida nolga teng bo‘lganligi sababli, uning yoyilmasida haqiqiy (Cos) va mavhum (Sin) tashkil etuvchilarini o‘z ichiga oladi. Teskor Fure o‘zgartirishi (TFO‘). Bu teskor Fure o‘zgartirish hisoblash algoritmi tegishli ko‘paytirish va qo‘shish operatsiyalari sonini kamaytirish orqali amalga oshiriladi.

Xulosa
Signallarni vaqt sohasi bo‘yicha ifodalashdan tashqari, chastota sohasida ham signallar akslantiriladi, ya’ni signalda mavjud bo‘lgan chastotalar (garmonikalar) to‘plami . Matematik jihatdan bu signalning garmonik tashkil etuvchilar yig‘indisidan tashkil topgan Fure qatorlari deb atalishini bilib oldik.
Ushbu o‘zgartirishning muhim xususiyati shundaki, signalni vaqt sohasidan spektral sohasiga o‘tkazish, aksincha, signalni spektral sohasidan vaqt sohasiga o‘tkazish protseduralari mavjud. Ushbu protseduralar to‘g‘ri va teskari Fure o‘zgartirishlari deb nomlanadi To‘g‘ri diskret Fure o‘zgartirish kirish signalining cheklangan sonli qiymatlari (2n) bo‘yicha amalga oshiriladi, bu signalni vaqti-vaqti bilan spektral ko‘rinishga o‘tkazishga imkon beradi. Spektral koyeffitsiyentlar F(k) signalning kirish qiymatlarini Fure funksiyalari - sinuslar va kosinuslar bilan svyortkalash (juftliklar asosida ko‘paytirish) natijasida olinadi. Sin va Cos asos funksiyalari fazaviy tekisligining 0 va 90 burchak nuqtalarida nolga teng bo‘lganligi sababli, uning yoyilmasida haqiqiy (Cos) va mavhum (Sin) tashkil etuvchilarini o‘z ichiga oladi.