Mavzu: P2 elementlari uchun hisoblash formulalari Elementlarni qo‘shish

15-amaliy mashg`ulot.
Mavzu: P2 elementlari uchun hisoblash formulalari
Elementlarni qo‘shish.

komponentalarga ega bo‘lgan dagi element uchun qat’iylik matritsasini hisoblash masalasini qarab chiqamiz.
bo‘lsin, ushbu o‘zgarishdagi Yakobi matritsasiga transponirlangan matritsani aniqlaymiz:

uning aniqlanish modulini ( o‘zgaruvchining yakobiani modulini) esa deb belgilaymiz. (3.9) integralda elementdan elementga quyidagini hisobga olgan holda o‘tamiz:

Bundan quyidagiga ega bo‘lamiz:

Albatta, faqatgina xususiy hollarda ushbu integral aniq hisoblanishi mumkin; shuning uchun uning yaqinlashgan yechimi uchun kvadratura formulalaridan foydalaniladi. Agar orqali belgilasak, u holda

bu yerda koeffitsientlar va tugunlar tanlangan kvadratura formulalarini aniqlaydi. CHEM nazariyasiga asosan, dagi ko‘phaddagi aniq va musbat koeffitsientlarga ega bo‘lgan kvadraturalardan foydalanish yetarlidir.
To‘g‘ri chiziqli va egri chiziqli tomonlar elementlari orasidagi hisoblashning qiyinchiligidagi farq shundan iboratki, birinchi holatda matritsa ga bog‘liq bo‘lmaydi va faqat bir martagina hisoblanishi mumkin, o‘shanda ikkinchi holatda ni bir marta hisoblash uchun zarur bo‘ladi. Yana anglash mumkinki, agar da quyidagi o‘lchamli matritsani kiritsak:

va ustun vektorlarni, hamda sonlarni kiritsak, u holda ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

bu yerda - raqamli ustun. Bu yerdan kelib chiqadiki,


Bu yerda - vektorli qator.
Chekli elementning kuchlar vektrori shunga o‘xshash hisoblanadi. Quyidagiga egamiz:

Anglaymizki, ixtiyoriy funksiyalar uchun izoparametrik element uchun

Bu yerda ustunlar bo‘lib elementning tugunlari koordinatalari hisoblanadi.
ga ikkita mos keladigan kvadratura formulalarini ko‘rsatamiz. Ulardan birinchisi uchta tugunga ega ( ), ikkinchi darajali yig‘indili ko‘phad ( ) da aniq hisoblanadi va quyidagi tugunlar ( tomonning o‘rtalari) va koeffitsientlarga ega:

Boshqa kvadratura to‘rtinchi darajali yig‘indili ko‘phad ( ) da aniq. Uning tugunlari va koeffitsientlari quyidagi ko‘rinishga ega:


Qirralarni qo‘shish. Endi, - cho‘qqilari , va “o‘rta” tugunli chegaraviy qirra bo‘lsin. massalar va vektor kuchning chegaraviy matritsani hisoblashning quyidagi komponentalari bilan qarab chiqamiz:

cho‘qqilari bilan, o‘rta nuqtali va quyidagi bazisli funksiyalarga ega bo‘lgan bazisli qirra bo‘lsin:

Akslantirish

o‘zaro bir qiymatli

akslantirishni beradi va bir vaqtda qirraning parametrlashtirishini aniqlaydi. Tekshirish qiyin emas, agar

bo‘lsa, demak qirra to‘g‘ri chiziqli hisoblanadi, aks holda

Quyidagicha bo‘lsin:

Integrallar dan ga o‘tamiz. Quyidagiga ega bo‘lamiz:

bu yerda

To‘g‘ri chiziqli qirralar uchun, aniqki, - qirralar uzunligi. Bir o‘lchamli integrallarni hisoblash uchun quyidagi kvadratura formulasidan foydalanamiz:

Yuqoridagi kabi quyidagi vektor ustunlarni:

va quyidagi tugunlar koordinatasi matritsasini kiritamiz:

O‘shanda va -

vektorlar uzunligi.
da ikkita mos keladigan uchinchi darajali ko‘phadda aniq bo‘lgan kvadratura formulalarini belgilaymiz. Ulardan birinchisi – Gauss kvadraturasi:

ikkinchisi esa – Simpson kvadraturasi (ushbu holatda diagonal bo‘lib qoladi):