Microsoft Word oliy matematika B

Download 214.37 Kb.

bet	1/2
Sana	16.06.2023
Hajmi	214.37 Kb.
	#1500427

1 2

Bog'liq
Toʻla ehtimol. Bayes formulasi

Bog‘liqsiz tajribalar ketma-ketligi. Bernulli formulasi

Toʻla ehtimol. Bayes formulasi. Bernulli formulasi. Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni.

REJA:

To‘la ehtimollik va Bayes formulalari
Bernulli formulasi
Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni.

To‘la ehtimollik va Bayes formulalari

A₁, A₂ ,..., A_n juft-jufti bilan birgalikda bo‗lmagan hodisalar to‗la
n

gruppani tashkil etsin, ya‘ni __A_i₌__va
i=1
A_i  A_j = , i  j . U holda

^A1 ⁺^A2 ⁺^...⁺^An ⁼^^{ekanligini hisobga olib,}^Bⁿⁱ
^B⁼^B^^⁼^B^⁽^A1 ⁺^A2 ⁺^.^.^.⁺^An ⁾⁼^B^^A¹⁺^B^^A²⁺^..^.⁺^B^^Aⁿko‗rinishda yozamiz.

^Ai^^Aj⁼^^,ⁱ^^jekanligidan ⁽^B^^Ai⁾^⁽^B^^Aj⁾⁼^^,ⁱ^^j^ekani^kelib^chiqadi.B

hodisaning ehtimolligini hisoblaymiz:

P(B) = P(B  A₁ + B  A₂ + ... + B  A_n ) =
⁼^P⁽^B^^A¹⁾⁺^P⁽^B^^A²⁾⁺^...⁺^P⁽^B^^An⁾.

Ko‗paytirish qoidasiga ko‗ra tenglikni (1.12.1) gaqo‗llasak,
P(B  A_i ) = P(A_i )  P(B / A_i ), i = 1,n ^bo‗ladi.^Bu

^P⁽^B⁾⁼^P⁽^A¹⁾^P⁽^B^/^A¹⁾⁺^P⁽^A²⁾^P⁽^B^/^A²⁾⁺^...⁺^P⁽^An⁾^P⁽^B^/^An⁾.
n

Agar B  _A_i

i =1
bo‗lsa, u holda
n

P(B) = _P( A_i )P(B / A_i )
i=1
tenglik o‗rinli bo‗ladi. Bu tenglik to‘la ehtimollik formulasi deyiladi.

1.1-masala. Detallar partiyasi uch ishchi tomonidan tayyorlanadi. Birinchi ishchi barcha detallarning 25%ini, ikkinchi ishchi 35%ini, uchinchsi esa 40%ini tayyorlaydi. Bu uchchala ishchining tayyorlagan detallarining sifatsiz bo‗lish ehtimolliklari mos ravishda 0.05,0.04 va 0.02
ga teng bo‗lsa, tekshirish uchun partiyadan olingan detalning sifatsiz bo‗lish ehtimolligini toping.
^Ai^={detalⁱ^-ishchi^tomonidan^{tayyorlangan}}ⁱ⁼^1,3^,^B^={tekshirishuchun olingan detal sifatsiz} hodisalarni kiritamiz va quyidagi ehtimolliklarni hisoblaymiz:

P( A ) = ^25%
= 0.25, P( A ) = ^35%
= 0.35, P( A ) = ^40%
⁼^0.4,

¹ 100%
² 100%
³ 100%

^P⁽^B^/^A₁⁾⁼^0.05,^P⁽^B^/^A₂⁾⁼^0.04,^P⁽^B^/^A3 ⁾⁼^0.02. To‗la ehtimollik formulasiga asosan ^P⁽^B⁾⁼⁰^.2⁵^⁰^.05⁺⁰^.3⁵^⁰^.⁰⁴⁺⁰^.4^⁰^.02⁼⁰^.03⁴⁵.
^Ai ^va^B^hodisalar^{ko‗paytmasi uchun}

P( A_i  B) = P(B)  P( A_i / B) P( A_i  B) = P( A_i )  P(B / A_i )

tengliklar o‗rinli. (1.12.3) va (1.12.4) tengliklardan quyidagilarni hosil qilamiz:

^P⁽^B⁾^^P⁽^Ai^/^B⁾⁼^P⁽^Ai⁾^^P⁽^B^/^Ai⁾,

P( A_i
_/_B₎₌P( A_i )P(B / A_i ) _.
P(B)

Bu yerda ^P⁽^B⁾⁼^^P⁽^Ai ⁾^P⁽^B^/^Ai ⁾^.^(1.12.5)^tenglik^Bayes^formulasi

i=1

deyiladi. Bayes formulasi yana gipotezalar teoremasi deb ham ataladi. Agar A₁, A₂ ,..., A_n hodisalarni gipotezalar deb olsak, u holda P( A_i ) ehtimollik

A_i gipotezaning aprior(―a priori‖ lotincha tajribagacha), P( A_i / B)
ehtimollik esa aposterior(―a posteriori‖ tajribadan keyingi) ehtimolligi deyiladi.

Bog‘liqsiz tajribalar ketma-ketligi. Bernulli formulasi

Agar bir ne

cha tajribalar o‗tkazilayotganida, har bir tajribada biror A hodisaning ro‗y berish ehtimolligi boshqa tajriba natijalariga bog‗liq bo‗lmasa, bunday tajribalar bog‗liqsiz tajribalar deyiladi.
n ta bog‗liqsiz tagribalar o‗tkazilayotgan bo‗lsin. Har bir tajribada A
hodisaning ro‗y berish ehtimolligi P( A) = p va ro‗y bermasligi ehtimolligi

P( A) = 1  p = q ^bo‗lsin.

Masalan, 1) nishonga qarata o‗q uzish tajribasini ko‗raylik. Bu yerda A={o‗q nishonga tegdi}-muvaffaqqiyat va A ={o‗q nishonga tegmadi}- muvaffaqqiyatsizlik; 2) n ta mahsulotni sifatsizlikka tekshirilayotganda A={mahsulot sifatli}-muvaffaqqiyat va A ={mahsulot sifatsiz}- muvaffaqqiyatsizlik bo‗ladi.

^Bu^kabi^tajribalarda^elementar^hodisalar^fazosi ^faqat^ikki
elementdan iborat bo‗ladi: _₌_{_₀_,_₁_}₌_{_A_,_A_}_,_b_u_e_r_d_a₀-A hodisa ro‗y
^{bermasligini,}^1 ^-^A^hodisa^ro‗y^berishini^bildiradi.^Bu^{hodisalarning}ehtimolliklari mos ravishda p va q (p+q=1) lar orqali belgilanadi.
Agar n ta tajriba o‗tkazilayotgan bo‗lsa, u holda elementar hodisalar
fazosining elementar hodisalari soni 2ⁿ ga teng bo‗ladi. Masalan, n=3 da
^⁼^{^0^,^1^,^.^.^.^,^7^}⁼^{^A^A^A^,^AA^A^,^A^A^A^,^AA^A^,^A^A^A^,^AA^A^,^AA^A^,^A^A^A^}^,^y^a^‘ⁿⁱ^
to‗plam 2³=8 ta elementar hodisadan iborat. Har bir hodisaning ehtimolligini ko‗paytirish teoremasiga ko‗ra hisoblash mumkin:

p( ₀) = P( AAA) = P( A)P( A)P( A) = q³ ,

^p⁽^1⁾⁼^P⁽^AAA⁾⁼^P⁽^A⁾^P⁽^A⁾^P⁽^A⁾⁼^pq²^,
........ ........ ........ ........ ........ ........ ....
^p⁽^7 ⁾⁼^P⁽^AAA⁾⁼^P⁽^A⁾^P⁽^A⁾^P⁽^A⁾⁼^p^3.

n ta bog‗liqsiz tajribada A hodisa m marta ro‗y berish ehtimolligini hisoblaylik:
P_n(m) = P(_A _A_ ._.._A  _A _A_._.._A) + P( A_A _A_._.._A  _A _A_._.._A) +
...+
mta (nm)ta mta (n(m1))ta

Har bir qo‗shiluvchi ko‗paytirish teoremasiga ko‗ra Demak,

^p^m^qⁿ^^mga teng.

P (m) = p^mqⁿ^^m + p^mqⁿ^^m + ... + p^mqⁿ^^m = C^m p^mqⁿ^^m , m = 0,1,...n
ⁿ ⁿ^.

n
C^m ta qo'shiluvchi

Agar n ta bo‗g‗liqsiz tajribaning har birida A hodisaning ro‗y berish ehtimolligi p ga, ro‗y bermasligi q ga teng bo‗lsa, u holda A hodisaning m marta ro‗y berish ehtimolligi quyidagi ifodaga teng bo‗ladi: