Muhandislik-iqtisodiyot

Download 203.58 Kb.

bet	1/3
Sana	26.01.2023
Hajmi	203.58 Kb.
	#1126248

1 2 3

Bog'liq
aniq-integralning-asosiy-xossalari-va-aniq-integrallarni-hisoblash.-

^{O’ZBEKISTON}^RESPUBLIKASI^OLIY^VA
O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
QARSHI MUHANDISLIK-IQTISODIYOT INSTITUTI

“Oliy matematika” kafedrasi
Mavzu: Aniq integralning asosiy xossalari va aniq integrallarni hisoblash.

Bajardi:

NGI-109
guruh talabasi
Egamov F.
f
qildi:

Qabul
.-m.f.n. K.N.Хоlоv

Reja:
1. Aniq integralning asosiy xossalari
2. Integralning yuqori chegarasi bo’yicha hosilasi
3. Aniq integralni hisoblash. Nyuton-Leybnis formulasi
4. Aniq integralda o’zgaruvchini almashtirish
5. Aniq integralni bo’laklab integrallash
6. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

1. Aniq integralning asosiy xossalari
1-xossa. O’zgarmas ko’paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya‘ni A=const bo’lsa
b b
_∫^Af⁽^x⁾^dx⁼^A_∫^f⁽^x⁾^dx
a a
bo’ladi, bunda f(x) integrallanuvchi funksiya.
Isboti.

b b
^Af⁽^x⁾^dx⁼_λ^Af⁽^z_k⁾^∆^x_k⁼^A_λ^f⁽^z_k⁾^∆^x_k⁼^{A f}⁽^x⁾^dx^.
2-xossa. Bir nechta integrallashuvchi funksiyalarning algebraik yig’indisining aniq integrali qo’shiluvchilar integrallarining yig’indisiga teng,
ya‘ni
^[^f⁽^x⁾^±^ϕ⁽^x⁾^]^dx⁼^f⁽^x⁾^dx^±^ϕ⁽^x⁾^dx^.a a a
Isboti.
^[^f⁽^x⁾^±^ϕ⁽^x⁾^]^dx⁼_λ^[^f⁽^z_k⁾^±^ϕ⁽^z_k⁾^]^∆^x_k⁼_λ^f⁽^z_k⁾^∆^x_k^±^ϕ⁽^z_k⁾^∆^x_k⁼
^{=

b b}₀^f⁽^z_k⁾^∆^x_k^±_λ^ϕ⁽^z_k⁾^∆^x_k⁼^f⁽^x⁾^dx^±^ϕ⁽^x⁾^dx^.
^3-^xossa^.^Agar^quyidagi^uch^integralning^har^biri^mavjud^bo^’^lsa^,^u^ho^lda^har
qanday uchta a,b,c sonlar uchun
b c b
_∫^f⁽^x⁾^dx⁼_∫^f⁽^x⁾^dx⁺_∫^f⁽^x⁾^dx⁽¹⁾
a a c
tenglik o’rinli bo’ladi.
Isboti. Dastlab ab deb faraz qilib f(x) funksiya uchun [a,b] kesmada integral yig’indi σ_nni tuzamiz. Integral yig’indining limiti [a,b] kesmani bo’laklarga bo’lish usuliga bog’liq bo’lmagani uchun [a,b] kesmani mayda
kesmachalarga shunday bo’lamizki, с nuqta bo’lish nuqtasi bo’lsin.
^Agar^,^masalan^,^с⁼^х^m^bo^’^lsa^,^u^holda^σⁿ^integral^yig^’^indini^ikkita
yig’indiga ajratamiz:

^σ_n⁼^f⁽^z_k⁾^∆^x_k⁼^f⁽^z_k⁾^∆^x_k⁺^f⁽^z_k⁾^∆^x_k^.k =1 k =1 k =m+1
^Ushbu^tenglikda^λ^→⁰^da^limitga^o^’^tsak^isbotlanishi^lozim^b^o’lgan⁽¹⁾^kelib
chiqadi.
ac bo’lsin. U holda isbotlanganga muvofiq
c b c
_∫^f⁽^x⁾^dx⁼_∫^f⁽^x⁾^dx⁺_∫^f⁽^x⁾^dx^bo^’^ladi^.
a a b
Bundan
_b_c_c_c_b
_∫^f⁽^x⁾^dx⁼_∫^f⁽^x⁾^dx⁻_∫^f⁽^x⁾^dx⁼_∫^f⁽^x⁾^dx⁺_∫^f⁽^x⁾^dx^,
a a b a c
ya‘ni (1) ga ega bo’ldik.

1-chizma.
141-chizmadaf(x)>0 va a b bo’lgan hol uchun 3-xossaning geometrik tasviri berilgan: a A B b egri chiziqli trapetsiyaning yuzi a A C c va с С B b egri chiziqli
trapetsiyalar yuzlarini yig’indisiga teng.
^4-^xossa^.^Agar^[a,b]^kesmada^f^(х)^funksiya^{integrallanuvchi}^va^f^(х)≥0^bo^’^lsa^,
u holda
b
_∫^f⁽^x⁾^dx^≥⁰
a
bo’ladi.
Isboti. Istalgan k uchun f(х_к)≥0, Δx_k>0 bo’lgani sababli f (x_k)∆x_k≥ 0
^bo^’^ladi^.^Bunda^λ^→⁰^da^limitga^o^’^tsak^isbotlani^shi^lozim^bo’lgan^tengsizlikni^hosil
qilamiz.

b Shuningdek [a,b] kesmada f(х)≤0 bo’lganda _∫f (x)dx ≤ 0 bo’lishini a ko’rsatish qiyin emas. 5-xossa. Agar [a,b] (a) kesmada ikkita integrallanuvchi f (х) va φ(x) funksiyaf (х) ≥ φ(x) shartni qanoatlantirsa,u holda b b _∫^f⁽^x⁾^dx^≥_∫^ϕ⁽^x⁾^dx a a tengsizlik o’rinli. ^Isboti^.^[a,b]^da^f^{(х)-φ(x)≥0}^bo^’^lgani^uchun^4-^xossaga^ko^’^ra _f₍_x₎₋_ϕ₍_x₎^]_dx_≥₀bo’ladi. Bundan 2_-_xossasiga_binoana b b b b _∫^f⁽^x⁾^dx⁻_∫^f⁽^x⁾^dx^≥⁰^yoki_∫^f⁽^x⁾^dx^≥_∫^f⁽^x⁾^dx a a a a kelib chiqadi. 6- xossa. Agar f(x) va f\|(x)\| funksiya [a,b] da integrallanuvchi bo’lsa, u holda a a b b _∫^f⁽^x⁾^dx^≤_∫^f⁽^x⁾^dx⁽²⁾ tengsizlik o’rinli. ^Isboti^.^-^f^\|^(x)^\|^≤f(x)≤^f\|(x)^\|^ga^5-^xossani^qo^’^llasak b b b ^-_∫^f⁽^x⁾^dx^≤_∫^f⁽^x⁾^dx^≤_∫^f⁽^x⁾^dxa a a yoki b b a a _∫^f⁽^x⁾^dx^≤_∫^f⁽^x⁾^dx tengsizlik hosil bo’ladi. Natija. Agar [a,b] kesmada f(x) va f\|(x)\| funksiya integrallanuvchi bo’lib, shu kesmada f\|(x)\| ≤ k (k=const) bo’lsa, u holda
	b ∫ f (x)dx a	≤ k(b − a) (3)

b b b
^m_∫^dx^≤_∫^f⁽^x⁾^dx^≤^M_∫^dx
a a a

ekanini hisobga olsak oxirgi

tengsizlik o’rinli.
Haqiqatan, f|(x)| ≤ k bo’lgani uchun 6-5 va 1-xossaga asosan

a a a

b b b
_∫^f⁽^x⁾^dx^≤_∫^f⁽^x⁾^dx^≤^k_∫^dx
bo’ladi. Bunda
b _n
^dx⁼_λ_喻₀¹^.^Δ^x_k^=Δ^x₁⁺^Δ^x₂⁺^...⁺^Δ^x_n⁼^b^一^a
ekanini hisobga olsak (39.3) tengsizlikka ega bo’lamiz.
^7-^xossa^.⁽^Aniq^integralni^baholash^).^Agar^m^va^M^sonlar^[a,b]^kesmada
integrallanuvchif(x) funksiyaning eng kichik va eng katta qiymati bo’lsa, u holda
b
^m⁽^b^一^a⁾^≤_∫^f⁽^x⁾^dx^≤^M⁽^b^一^a⁾⁽⁴⁾
a
tengsizlik o’rinli.
^Isboti^.^Shartga^binoan^[a,b]^kesmada^barcha^х^lar^uchun^m^≤f(x)^≤^M.
Bunga 5- xossani qo’llasak

tengsizliklardan (4) ga ega bo’lamiz
^8-^xossa^.^Agar^f^(x)^funksiya^[a,b]^kesmada^{integrallanuvchi}^bo^’^lib^m^va^M
uning shu kesmadagi eng kichik va eng katta qiymati bo’lsa, u holda shunday
’
^o^zgarmas^μ
(m ≤ μ ≤ M) son mavjudki
b
_∫^f⁽^x⁾^dx⁼^μ^.⁽^b^一^a⁾⁽⁵⁾
a
tenglik o’rinli.
^Isboti^.^(39.4)ⁿⁱb 一 a ^ga^bo^’^lsakm ≤ f (x⁾^dx^≤^M^bo^’^ladi^.
^f⁽^x⁾^dx⁼^μ
^belgisini^kiritamiz^.^U^holda^ox^irgi^tenglikni^b-a^ga^{ko’paytirib}^isbotlanishi^lozim
bo’lgan (5) tenglikka ega bo’lamiz.

Natija (o’rta qiymat haqidagi teorema). Agar f(x) [a,b] kesmada uzluksiz funksiya bo’lsa, u holda kesmada shunday х =с nuqta topiladiki, bu nuqtada
b
_∫^f⁽^x⁾^dx⁼^f⁽^c⁾⁽^b⁻^a⁾⁽⁶⁾
a
tenglik o’rinli.

Download 203.58 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3