Namunaviy masala yechilishi. 1-misol

Topshiriq 1.
Reja:
1.Masalaniberilishi.
2.Namunaviy masala .
3.Dasturiy natija.
Namunaviy masala yechilishi.


<sub>1-misol. Ushbu


chegaraviy masalaning taqribiy yechimini integralli eng kichik kvadratlar usuli va Galyorkin usullari yordamida toping [14].
Yechish. Berilgan chegaraviy masala quyidagi aniq yechimga ega:</sub>

c) Chegaraviy masala yechimini Galyorkin usuli yordamida topamiz.
Avval bo‘lsin. Yechimni ko‘rinishda izlaymiz.
U holda (1.12) sistema quyidagi ko‘rinishga keladi
yoki .
Shunday qilib, , , bundan esa quyidagini hosil qilamiz:

Integralni hisoblagandan keyin, , bunda esa ega bo‘lamiz.
Berilgan chegaraviy masalaning taqribiy yechimi ushbu ko‘rinishda bo‘ladi.
Endi esa bo‘lsin. Chegaraviy masala yechimini ushbu ko‘rinishda izlaymiz
.
U holda (1.12) sistema quyidagi ko‘rinishni oladi

Shunday qilib,
, ,
,

bulardan foydalanib quyidagiga ega bo‘lamiz:


Integrallarni hisoblab, ushbu tenglamalar sistemasiga kelamiz:

Bundan , larga ega bo‘lamiz.
Chegaraviy masala taqribiy yechimi quyidagicha bo‘ladi:

Yechimlarni taqqoslash uchun diskret nuqtalarda aniq va taqribiy yechimlar orasidagi o’rtacha kvadratik xatolikni quyidagi formula yordamida hisoblaymiz:

Hosil qilingan yechimlarni aniq yechim bilan taqqoslaymiz (1-jadval, 1-rasm). 1-rasm va 1-jadvaldan ko‘rinib turibdiki, boshqa usullarga nisbatan Galyorkin usuli bilan topilgan taqribiy yechim aniq yechimga ko’proq yaqinlashar ekan.
aniq yechim va Galyorkin usuli bilan topilgan , taqribiy yechimlarni taqqoslash uchun ularning bir nechta qiymatlarini keltiramiz (2-jadval, 2-rasm). Shunday qilib, 1-yaqinlashish ning xatoligi 0,01 tartibga, 2-yaqinlashish ning xatoligi esa 0,001 tartibga ega.

1-jadval.

				Aniq yechim
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0	0,000000 0,019078 0,036866 0,052258 0,064147 0,071429 0,072995 0,067742 0,054562 0,032350 0,000000	0,000000 0,018404 0,035430 0,050060 0,061279 0,068069 0,069414 0,064296 0,051699 0,030606 0,000000	0,000000 0,018854 0,036249 0,051163 0,062569 0,069444 0,070764 0,065504 0,052640 0,031146 0,000000	0,000000 0,018642 0,036098 0,051195 0,062783 0,069747 0,071018 0,065585 0,052502 0,030902 0,000000
	0,004637	0,003440	0,000597	-

1-rasm. Chegaraviy masalanig aniq va taqribiy yechimlari grafiklari

0,25	0,044014	0,052083	0,044080
0,50	0,069747	0,069444	0,069444
0,75	0,060056	0,052083	0,060086

2-jadval.
-
2-misol. Ushbu chiziqli bo‘lmagan ODT uchun chegaraviy masalani kollokatsiya usuli bilan yeching [15]


Yechish. Bazis funksiyalar sifatida quyidagilarni olamiz:

va yechimni ko’rinishida izlaymiz. Ushbu masala uchun tafovut funksiyani tuzamiz:

bu yerda .

2-rasm. Aniq yechim , Galyorkin usuli bilan topilgan

, yechimlar grafiklari

Kolokatsiya nuqtalarini quyidagicha tanlaymiz: .

Kollokatsiya nuqtalarida ni hisoblab, quyidagi chiziqli bo‘lmagan tenglamalar sistemasini hosil qilamiz

Ushbu sistemani quyidagi tarzda yozib olamiz:

va uni iteratsiya usuli bilan quyidagi formula bo‘yicha yechamiz


Bunda indeks yaqinlashish sonini anglatadi.
Birinchi yaqinlashish:

Ikkinchi yaqinlashish:


Uchinchi yaqinlashish:

Shunday qilib, ning qiymatlari ikkinchi va uchinchi yaqinlashishlarda ustma ust tushadi, u holda va ning qiymatlarini aniqlik bilan quyidagicha yozish mumkin:

Shunday qilib, chegaraviy masalaning taqribiy yechimi uchun quyidagiga ega bo’lamiz:

lari yordamida topamiz [1, 9]:
> u_x:=dsolve({diff(u(x),x$2)+2*diff(u(x),x)-3*u(x)=-6*x^2+5*x+6,u(0)=1,u(1)=1.5},u(x));

Shunday qilib, aniq yechim quyidagi ko’rinishda bo’lar ekan:

Hosil qilingan yechimlarni aniq yechim bilan taqqoslaymiz (3-jadval, 3-rasm). 3-jadval va 3-rasmdagi natijalardan ko’rinib turibdiki, Galyorkin usuli bilan topilgan yechim aniq yechimga ancha yaqin kelyapdi.
3-jadval.

	Kollokasiya usuli	Galyorkin usuli	Aniq yechim
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0	1,0000000 0,6877500 0,4920000 0,3992500 0,3960000 0,4687500 0,6040000 0,7882500 1,0080000 1,2497500 1,5000000	1,0000000 0,6622879 0,4440783 0,3328671 0,3161501 0,3814233 0,5161827 0,7079241 0,9441436 1,2123369 1,5000000	1,0000000 0,6492124 0,4381895 0,3387337 0,3297094 0,3951867 0,5230643 0,7040445 0,9308725 1,1977679 1,5000000
	0,200352	0,032621	-

3-rasm. Chegaraviy masalaning aniq yechimi, kollokasiya va Galyorkin usullari yordamida topilgan yechimlari grafiklari.