Ногах и руках будут исчерпаны


Download 300.21 Kb.
bet1/2
Sana29.04.2023
Hajmi300.21 Kb.
#1399651
  1   2
Bog'liq
ТЗКИИИИИ


64 Глава восьмая

Даже когда пальцы на ногах и руках будут исчерпаны, счет в восьмеричной системе можно продолжать. В целом он идет, как и счет в десятичной системе, но без чисел, содержащих цифры 8 и 9:


0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21,
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 30, 31, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37,
40, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56,
57, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76,
77, 100...
Последнее число — 100 — есть число пальцев мультяшки, ум- ноженное само на себя.
Чтобы избежать путаницы при написании восьмеричных и десятичных чисел, будем указывать тип системы в нижнем индексе. Индекс ДЕСЯТЬ будет означать десятичную систему, а ВОСЕМЬ — восьмеричную.
Итак, число гномов, которых встретила Белоснежка, равно 7ДЕСЯТЬ или 7ВОСЕМЬ.
Число пальцев на руках мультяшек равно 8ДЕСЯТЬ или 10ВОСЕМЬ. Число симфоний, написанных Бетховеном, равно 9ДЕСЯТЬ или
11ВОСЕМЬ.
Число пальцев на руках человека равно 10ДЕСЯТЬ или 12ВОСЕМЬ. Число месяцев в году равно 12ДЕСЯТЬ или 14ВОСЕМЬ.
Число дней в двух неделях равно 14ДЕСЯТЬ или 16ВОСЕМЬ. Число килограммов в пуде равно 16ДЕСЯТЬ или 20ВОСЕМЬ. Число часов в сутках равно 24ДЕСЯТЬ или 30ВОСЕМЬ.
Число букв в латинском алфавите равно 26ДЕСЯТЬ или 32ВОСЕМЬ. Число зубов у взрослого человека равно 32ДЕСЯТЬ или 40ВОСЕМЬ. Число карт в колоде равно 52ДЕСЯТЬ или 64ВОСЕМЬ.
Число клеток на шахматной доске равно 64ДЕСЯТЬ или 100ВОСЕМЬ. Число созвездий на небе равно 88ДЕСЯТЬ или 130ВОСЕМЬ.
Число сантиметров в метре равно 100ДЕСЯТЬ или 144ВОСЕМЬ. Число женщин-одиночек в начале Уимблдонского турни-
ра равно 128ДЕСЯТЬ или 200ВОСЕМЬ.
Площадь Мемфиса в квадратных милях равна 256ДЕСЯТЬ или 400ВОСЕМЬ.
В этом списке обратите внимание на красивые круглые восьмеричные числа, например, 100ВОСЕМЬ, 200ВОСЕМЬ и 400ВОСЕМЬ. Кра- сивым круглым числом мы обычно называем число с нулями на конце. Два нуля на конце десятичного числа означают, что оно
кратно 100ДЕСЯТЬ = 10ДЕСЯТЬ × 10ДЕСЯТЬ. В восьмеричной системе два Альтернативы десяти 65


нуля на конце означают, что число кратно 100ВОСЕМЬ = 10ВОСЕМЬ ×
× 10ВОСЕМЬ (т. е. 8ДЕСЯТЬ × 8ДЕСЯТЬ = 64ДЕСЯТЬ).
Заметьте также, что все десятичные эквиваленты круглых восьмеричных чисел, а именно 64ДЕСЯТЬ, 128ДЕСЯТЬ и 256ДЕСЯТЬ, явля- ются степенями двойки. В этом есть смысл. Число 400ВОСЕМЬ, на- пример, равно произведению чисел 4ВОСЕМЬ, 10ВОСЕМЬ и 10ВОСЕМЬ, каж- дое из которых является степенью двойки. Естественно, при умножении степени двойки на степень двойки, мы опять-таки получаем степень двойки.
В таблице некоторые степени двойки показаны в десятич- ном и восьмеричном представлении.



Степень двойки Десятичное

Восьмеричное

20 1

1

21 2

2

22 4

4

23 8

10

24 16

20

25 32

40

26 64

100

27 128

200

28 256

400

29 512

1000

210 1024

2000

211 2048

4000

212 4096

10000

Красивые круглые числа в крайнем правом столбце указыва- ют на то, что при работе с двоичными кодами удобны недеся- тичные системы счисления.
По способу построения чисел восьмеричная система не от- личается от десятичной за исключением некоторых тонкостей. Например, каждой позиции в восьмеричном числе соответ- ствует цифра, умноженная на степень восьми.
66 Глава восьмая


Количество единиц Количество восьмерок Количество 64
Количество 512
Количество 4 096
Количество 32 768


Например, восьмеричное число 3 725ВОСЕМЬ раскладывается так:
3 725восемь = 3 000восемь + 700восемь + 20восемь + 5восемь
Затем выделяем круглые числа:
3 725ВОСЕМЬ = 3 × 1 000ВОСЕМЬ +
7 × 100ВОСЕМЬ +
2 × 10ВОСЕМЬ +
5 × 1ВОСЕМЬ
или в десятичном представлении:
3 725ВОСЕМЬ = 3 × 83 +
7 × 82 +
2 × 81 +
5 × 80
Заменяем степени восьмерки их десятичными значениями:
3 725ВОСЕМЬ = 3 × 512ДЕСЯТЬ +
7 × 64ДЕСЯТЬ +
2 × 8ДЕСЯТЬ +
5 × 1ДЕСЯТЬ
Выполнив десятичное сложение, получаем 2 005ДЕСЯТЬ. Именно так восьмеричные числа преобразуются в десятичные.
Восьмеричные числа складываются и умножаются точно так же, как и десятичные. Единственное отличие — в исполь- зовании других таблиц сложения и умножения. Таблица сло- жения восьмеричных чисел приведена на стр. 67.
Например, 5ВОСЕМЬ + 7ВОСЕМЬ = 14ВОСЕМЬ. Восьмеричные числа можно складывать и столбиком.
135
+ 643

1000
Альтернативы десяти 67


+

0

1

2

3

4

5

6

7

0

0

1

2

3

4

5

6

7

1

1

2

3

4

5

6

7

10

2

2

3

4

5

6

7

10

11

3

3

4

5

6

7

10

11

12

4

4

5

6

7

10

11

12

13

5

5

6

7

10

11

12

13

14

6

6

7

10

11

12

13

14

15

7

7

10

11

12

13

14

15

16

Начнем с правого столбца: 5 плюс 3 равно 10. Пишем 0, а 1
переносим. 1 + 3 + 4 = 10. Пишем 0, 1 переносим. 1 + 1 + 6 = 10. Великое равенство 2 × 2 = 4 выполняется и в восьмеричной системе. А вот произведение двух троек равно не 9. А чему же?
Оказывается, 3 × 3 = 11ВОСЕМЬ = 9ДЕСЯТЬ. Вот как выглядит таблица умножения в восьмеричной системе.




0

1

2

3

4

5

6

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

2

0

2

4

6

10

12

14

16

3

0

3

6

11

14

17

22

25

4

0

4

10

14

20

24

30

34

5

0

5

12

17

24

31

36

43

6

0

6

14

22

30

36

44

52

7

0

7

16

25

34

43

52

61



В данном случае 4 × 6 = 30ВОСЕМЬ, что эквивалентно числу 24ДЕСЯТЬ, равному 4 × 6 в десятичной системе.
68 Глава восьмая

Итак, восьмеричная система не менее обоснована, чем де- сятичная. Но мы на этом не остановимся. Теперь, когда мы построили систему счисления для мультяшек, поищем что- нибудь подходящее для раков. У раков нет пальцев, но есть клешни. Система счисления для раков основана на 4 и называ- ется четверичной.


1 2 3 10
Счет в этой системе происходит так: 0, 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13,
20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 100, 101, 102, 103, 110 и т. д.
Я не хочу уделять много внимания четверичной системе, так как нам пора двигаться к еще более важным вещам. По- смотрим лишь, как позиции в четверичном числе соответству- ют степеням четырех.
Количество единиц Количество четверок Количество 16
Количество 64
Количество 256
Количество 1024

Четверичное число 31 232 можно записать так:


31 232 чЕТЫРЕ = 3 × 10 000чЕТЫРЕ +

  1. × 1 000чЕТЫРЕ +

  2. × 100чЕТЫРЕ +

  3. × 10 чЕТЫРЕ +

2 × 1чЕТЫРЕ
Альтернативы десяти 69

так:

или так:


31 232 чЕТЫРЕ = 3 × 256ДЕСЯТЬ +

  1. × 64ДЕСЯТЬ +

  2. × 16ДЕСЯТЬ +

  3. × 4 ДЕСЯТЬ +

2 × 1ДЕСЯТЬ


31 232 чЕТЫРЕ = 3 × 44 +
1 × 43 +
2 × 42 +
3 × 41 +
2 × 40

Проделав вычисления в десятичной системе, получаем, что 31 232 чЕТЫРЕ = 878 ДЕСЯТЬ.
Наконец, мы готовы взять последнее, самое серьезное пре- пятствие. Представим себе, что мы дельфины и должны на- учиться считать с помощью двух плавников. Теперь в нашем распоряжении всего две цифры: 0 и 1. Система счисления, ос- нованная на двух цифрах, называется двоичной.
Чтобы привыкнуть к двоичным числам, требуется некото- рая практика. Проблема в том, что цифры очень быстро за- канчиваются. Смотрите, как считает дельфин.

Да, в двоичной системе сразу после 1 идет 10. Это удивитель- но, но не так уж неожиданно. В любой системе счисления, ког- да заканчиваются одноразрядные числа, первым двухразряд- ным числом является 10. В двоичной системе мы считаем так:



70 Глава восьмая

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011,


1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001...
Эти числа кажутся большими, но на самом деле таковыми не яв- ляются. Говоря точнее, двоичные числа не большие, а длинные.
Число голов у человека равно 1ДЕСЯТЬ или 1ДВА.
Число плавников у дельфина равно 2ДЕСЯТЬ или 10ДВА. Число чайных ложек в столовой равно 3ДЕСЯТЬ или 11ДВА. Число сторон у квадрата равно 4ДЕСЯТЬ или 100ДВА.
Число пальцев на руке у человека равно 5ДЕСЯТЬ или 101ДВА. Число ног у насекомого равно 6ДЕСЯТЬ или 110ДВА.
Число дней в неделе равно 7ДЕСЯТЬ или 111ДВА.
Число музыкантов в октете равно 8ДЕСЯТЬ или 1000ДВА.
Число планет в Солнечной системе равно 9ДЕСЯТЬ или 1001ДВА.
Число миллиметров в сантиметре равно 10ДЕСЯТЬ или 1010ДВА и так далее.
В многозначном двоичном числе позиции цифр соответ- ствуют степеням двойки.
Количество единиц Количество двоек Количество четверок Количество восьмерок Количество 16
Количество 32

Поэтому любое двоичное число, состоящее из 1 с нескольки- ми нулями, является степенью двойки. Показатель степени равен числу нулей. Таблица степеней двойки демонстрирует это правило наглядно.






Download 300.21 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling