Nyuton metodi

Nyuton metodi.Nyuton metodi sonli tenglamalarni yechishning juda ham effektiv metodidir. Bu metodning afzalligi afzalligi shundan iboratki, xisoblash sxemasi murakkab bo`lmagan holda ketma-ket yaqinlashishlar ildizga tez yaqinlashadi. Nyuton metodi itaratsiya metodi kabi universal metoddir. Bu metod yordamida sonli tenglamalarning xaqiqiy va kompleks ildizlarini topish hamda keng sinfdagi chiziqli bo`lmagan funksional tenglamalarni yechish mumkin. Formal nuqtai nazardan qaralganda, Nyuton metodi iteratsiya metodining xususiy holidir, aslida esa bu metodning xususiy holidan tamoman farqlidir. Bu metod chiziqli bo`lmagan tenglamalarni yechish masalasini chiziqli masalalarning ketma-ketligini yechishga olib keladi. Buning uchun berilgan tenglamadan uning bosh chiziqli qismi ajratib olinadi. Faraz qilaylik bizga

tenglama va uning ildiziga dastlabki yaqinlashish qiymati x₀ berilgan bo`lsin. Bu yerda f(x) ni yetarlicha silliq funksiya deb olamiz. Odatdagidek (21) tenglamaning aniq ildizini ξ orqali belgilaymiz. Endi deb olib, funksiyaning nuqta atrofidagi Teylor qatori yoyilmasidagi dastlabki ikkita xadini olib nolga tenglashtirsak, h ga nisbatan quyidagi

chiziqli tenglamaga ega bo`lamiz. Bu tenglamani yechib, h xatoning taqribiy qiymatini topamiz:

Bu tuzatmani ξ=x₀+h ga keltirib qo`yib, navbatdagi yaqinlashish

ni topamiz. Xuddi shunga o`xshash

ketma-ket yaqinlashishlarni xosil qilamiz. Bu formulalr yordamida Nyuton ketma-ketligini xosil qilish uchun xn lar funksiyaning aniqlanish soxasida yotishi va ular uchun bo`lishi kerak.
Nyuton metodi juda ham sodda geometrik ma’noga ega. Xaqiqatan ham, funksiyani

to`g‘ri chiziq bilan almashtiramiz, to`g‘ri chiziq esa nuqtada
egri chiziqqa o`tkazilgan urinmadir. Bu urinmaning absissa o`qi bilan kesishgan nuqtasini bilan belgilasak, dan kelib chiqadi. Shuning uchun Nyuton metodini iteratsiya metodidan keltirib chiqarish mumkin, buning uchun (21) tenglamaning ) kanonik ko`rinishida

deb olish kifoyadir.