Обратная матрица
Определение обратной матрицы
Для каждого числа a существует обратное число a-1 такое, что произведение a*a-1 = 1. Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие. Рассмотрим квадратную матрицу
.
Обозначим определитель A через Δ = detA. Квадратная В есть обратная для квадратной того же порядка, если их произведение * В = В* = Е, где Е - единичная матрица, , на главной диагонали стоят 1, остальные элементы 0.
Если определитель матрицы отличен от нуля Δ ≠ 0, то такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при Δ = 0) - вырожденной или особенной.
Теорема. Для того чтобы имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.
Обратная матрица для , обозначается через А-1, так что В = А-1 и вычисляется по формуле
(1)
где i j - алгебраические дополнения элементов a i j , Δ = det . Для не квадратной определитель | | и не существуют.
Вычисление -1 по формуле (1) для матриц высокого порядка трудоёмко, поэтому на практике бывает удобно находить -1 с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную путём ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной Е. Если совершённые над ЭП в том же порядке применить к единичной Е, то в результате получится . Проще совершать ЭП над и Е одновременно, записывая обе рядом через черту | E. Если нужно найти , в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы
Do'stlaringiz bilan baham: |