Обратная матрица Определение обратной матрицы

Обратная матрица

Определение обратной матрицы

Для каждого числа a существует обратное число a^-1 такое, что произведение a*a^-1 = 1. Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие. Рассмотрим квадратную матрицу

.

Обозначим определитель A через Δ = detA. Квадратная В есть обратная для квадратной  того же порядка, если их произведение * В = В* = Е, где Е - единичная матрица, , на главной диагонали стоят 1, остальные элементы 0.

Если определитель матрицы отличен от нуля Δ ≠ 0, то такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при Δ = 0) - вырожденной или особенной.

Теорема. Для того чтобы  имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Обратная матрица для , обозначается через А^-1, так что В = А^-1 и вычисляется по формуле

      (1)

где  _{i j} - алгебраические дополнения элементов a _{i j} , Δ = det. Для не квадратной  определитель || и  не существуют.

Вычисление ^-1 по формуле (1) для матриц высокого порядка трудоёмко, поэтому на практике бывает удобно находить ^-1 с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную  путём ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной Е. Если совершённые над  ЭП в том же порядке применить к единичной Е, то в результате получится . Проще совершать ЭП над  и Е одновременно, записывая обе рядом через черту  | E. Если нужно найти , в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы