Oddiy differensial tenglamalar va ularning turlari

1. 
   Oddiy differensial tenglamalar va ularning turlari
   

Differensial tenglamalar — nomaʼlum funksiyalar, ularning turli tartibli hosilalari va erkli oʻzgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalar.
1 – ta’rif. Differensial tenglama deb erkli o’zgaruvchi x, noma’lum y=f(x) funksiya va uning u^', u^'’,.....,u⁽ⁿ⁾ hosilalari orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan tenglamaga aytiladi.
Agar izlangan funksiya y=f(x) bitta erkli o’zgaruvchining funksiyasi bo’lsa, u holda differensial tenglama oddiy differentsial tenglama, bir nechta o’zgaruvchilarning funksiyasi bo’lsa u=U(x₁, x₂,...., x_n) xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
2-ta’rif. Differensial tenglamaning tartibi deb tenglamaga kirgan hosilaning eng yuqori tartibiga aytiladi.
U`=f(x,u) ko`rinishdagi (funksiyaning o`zi, hosilalari va x nomalum sonlar qatnashadi ) tenglamaga birinchi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
U<sup>(n)</sup>=f(x,u,u`,u``,…….u^(n-1)) ko`rinishdag tenglamaga n- tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
Birinchi tartibli differentsial tenglama umumiy holda quyidagi ko’rinishda bo’ladi.
F (x,y, )=0 (1.1)
Agar bu tenglamani birinchi tartibli xosilaga nisbatan yechish mumkin bo’lsa, u holda
=f(x,y) (1.2)
tenglamaga ega bo’lamiz. Odatda, (1.2) tenglama hosilaga nisbatan yechilgan tenglama deyiladi.
4 – ta’rif. Birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb bitta ixtiyoriy C o’zgarmas miqdorga bog’liq quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi
y=(x,s)
funksiyaga aytiladi:
a) bu funksiya differensial tenglamani ixtiyoriy s da qanoatlantiradi;
b) x=x<sub>0</sub> da y=y<sub>0</sub> boshlang’ich shart har qanday bo’lganda ham shunday s=s<sub>0</sub> qiymat topiladiki, y=(x,s<sub>0</sub>) funksiya berilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.
Ta’rif.
a<sub>0</sub>y<sup>(n)</sup>+a<sub>1</sub>y<sup>(n-1)</sup>+..+ a<sub>n-1</sub>y<sup>’</sup>+a<sub>n</sub>y=f(x) (1.3)
ko’rinishdagi tenglama n-tartibli chiziqli , o’zgarmas koeffitsientli differensial tenglama deyiladi, bunda
a<sub>0</sub>,<sub>.</sub>a<sub>1</sub>,..,a<sub>n-1</sub>,a<sub>n</sub> – o’zgarmas miqdorlar, a<sub>0</sub> 0.
Agar f(x) 0 bo’lsa, bir jinsli bo’lmagan tenglama,
f(x) 0
bo’lsa, bir jinsli tenglama deyiladi.
differensial tenglama turlari
ko`rinishdagi chiziqli, 2-tartibli xususiy hosilali differensial tenglama berilgan bo`lsin, uning qaysi tibga tegishli ekanli quyidagicha aniqlanadi:
hisoblanadi. Agar

1. 
   bo’lsa giperbolik
   
2. 
   bo’lsa parabolik
   
3. 
   bo’lsa eliptik tipga tegishli bo`ladi
   

Giperbolik tipga tor tebranish tenglamasini misol qilish mumkin.. Tor tebranish tenglamasi quyidagicha:

Parabolik tipga issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasini misol qilish mumkin. Issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi quyidagicha:

Eliptik tipga Laplas va Puasson tenglamasini misol qilish mumkin.
Laplas tenglamasi quyidagicha:

Laplas tenglamasi quyidagicha:

Bu yerda laplas operatori bo`lib, u quyidagiga teng:

№	Chiziqli, 2-tartibli xususiy hosilali differensial tenglama	xususiy hosilali differensial tenglama ko`rinishi	Boshlang`ich shart
1	Umumiy ko`rinishi		---
2	Parabolik tipdagi differensial tenglama
3	Giperbolik tipdagi differensial tenglama
4	Eliptik tipdagi differensial tenglama		---