Определение концентрации носителей тока в полупроводнике с помощью эффекта холла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ НОСИТЕЛЕЙ ТОКА В ПОЛУПРОВОДНИКЕ С ПОМОЩЬЮ ЭФФЕКТА ХОЛЛА
Цель работы: 1) определение постоянной Холла;
2) определение концентрации носителей заряда.
Приборы и принадлежности: установка для изучения эффекта Холла, образец (датчик Холла), источник питания образца, цифровые вольтметры.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Более века тому назад (1879г.) американский физик Холл, поместив тонкую золотую пластинку в магнитное поле, обнаружил, что при протекании по ней электрического тока в направлении, поперечном вектору магнитной индукции и вектору плотности тока, появляется электрическое поле. Этот эффект впоследствии был назван эффектом Холла, а поперечное электрическое поле – полем Холла.
Эффект Холла непосредственно связан с подвижностью и концентрацией носителей заряда, а знак ЭДС Холла зависит от знака заряда. Поэтому эффект Холла широко применяется при исследовании электрических свойств различных материалов и для контроля качества полупроводниковых материалов, идущих на изготовление приборов.
Изучение температурной зависимости эффекта Холла дает важную информацию о механизмах рассеяния^[1] носителей заряда, о ширине запрещенной зоны материала и энергии ионизации различных примесей.
Весьма широкое применение эффект Холла находит в современной технике, являясь основой для создания приборов различного назначения: магнитометров, преобразователей постоянного тока в переменный и переменного в постоянный, усилителей постоянного и переменного тока, микрофонов, приборов автоматики и контроля, элементов вычислительной техники и многого другого.
Эффект Холла является прямой демонстрацией действия силы Лоренца на движущиеся электрические заряды.
Рассмотрим проводник (или полупроводник) в виде параллелепипеда шириной а и толщиной d, через который протекает электрический ток плотностью , как показано на рис.1. Предположим также, что в проводнике имеются носители заряда одного знака: либо электроны, либо дырки. Проведем рассмотрение электронного проводника. Выберем на гранях, параллельных току, точки А и D, лежащие на одной эквипотенциальной поверхности^[2]  . Напряжение между этими точками U_x= 0.
Поместим проводник в магнитное поле, вектор индукции  которого перпендикулярен направлению тока и боковым граням. Под действием силы Лоренца

электроны отклоняются к передней (по рисунку) грани образца, заряжая ее отрицательно. На противоположной грани образца накапливаются нескомпенсированные положительные заряды. Это приводит к появлению электрического поля 

Смещение и разделение зарядов будет продолжаться до тех пор, пока сила Лоренца не уравновесится силой  действующей на электроны со стороны поля Холла 

Сила, действующая на электрон в условиях динамического равновесия, равна

или

Отсюда поле Холла

Результирующее электрическое поле

повернется при этом на угол Холла a, определяемый выражением

относительно вектора  Соответственно эквипотенциальные поверхности  и  тоже изменят свое положение, и точки А и D в результате окажутся на разных эквипотенциальных поверхностях и между ними появится напряжение (ЭДС Холла):

Так как

и то есть
то можно записать, что

и ЭДС Холла

где учтено, что 
Величина  называется постоянной Холла. Знак постоянной Холла зависит от знака заряда и определяет направление поля Холла (рис.2). У электронных полупроводников (полупроводников n-типа) R имеет отрицательный знак, у дырочных (полупроводников р-типа) – положительный.

Таким образом, определяя постоянную Холла и ее знак, можно определить концентрацию и знак носителей тока в полупроводнике.

Рассмотренная модель эффекта Холла применима для проводников (металлов) и вырожденных полупроводников^[3], т.е. к проводникам, в которых имеются носители одного знака, обладающие одинаковой скоростью  В невырожденных полупроводниках скорость носителей подчиняется распределению Максвелла. Учет этого обстоятельства приводит к формуле

где А – постоянная, зависящая от механизма рассеяния носителей.
В полупроводниках со смешанной проводимостью перенос тока осуществляется одновременно электронами и дырками. Так как они обладают противоположными по знаку зарядами и под действием внешнего поля перемещаются в противоположные стороны, то сила Лоренца  отклоняет их в одну и ту же сторону. Поэтому при прочих равных условиях ЭДС Холла и постоянная Холла у таких проводников меньше, чем у проводников с одним типом носителей. Расчет показывает, что для таких проводников

где n и р – концентрации электронов и дырок, m_n и m_р – их подвижности.
В зависимости от того, какое из слагаемых числителя больше, знак Холла может быть положительным или отрицательным. Для собственных полупроводников, у которых концентрации электронов и дырок одинаковы, знак постоянной Холла определяется знаком носителей, имеющих более высокую подвижность. Обычно такими носителями являются электроны. Поэтому в примесном дырочном полупроводнике (полупроводнике р-типа) при повышении температуры и переходе к собственной проводимости постоянная Холла проходит через нуль и меняет знак.
При измерении постоянной Холла и напряжения Холла следует иметь ввиду, что между холловскими электродами А и D имеется некоторая разность потенциалов U_о и в отсутствии магнитного поля  Эта разность потенциалов обусловлена асимметрией контактов (на практике очень трудно расположить их на одной эквипотенциальной поверхности, см. рис.3), и термоэдс, связанной с неизотермичностью образца. Для исключения влияния начальной разности потенциалов U_о на результаты измерения можно воспользоваться следующим методическим приемом.

При изменении направления магнитного поля на обратное знак ЭДС Холла U_х изменится, в то время как знак U_о остается прежним. При этом в зависимости от соотношения величин U_х и U_о возможны два подхода к определению U_х . Чаще встречается случай, когда  Тогда для различных направлений  (условно обозначенных ниже знаками + и - ) измеряемое напряжение U меняет свой знак, и можно записать:

Вычитая из первого уравнения второе, получим
(1)
Если U_х < U_о , тогда при различных направлениях  знак измеряемого напряжения не изменяется и можно записать


Вычитая из первого уравнения второе, получим
(2)