O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti iqtisodiyo

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI
IQTISODIYOT fakulteti

‘’Buxgalteriya hisobi va audit ‘’ ( tarmoqlar bo’yicha ) yo’nalishi

2-kurs sirtqi 211 - guruh talabasi Kurbanbayev Alisher Masharip o’g’lining Iqtisodchilar uchun matematika fanidan yozgan

MUSTAQIL ISHI

Mavzu: Ko’p ozgaruvchili funksiyaning yuqori tartibli hosila va differentsiallari. Teylor formulasi. Shartli ekstremum
Tayyorladi:___________________________


Qabul qildi:___________________________
Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari va differensialari.

F u n k s i y a n i n g h u s u s i y h o s i l a l a r i v a d i f f e r e n-
si a l l a n u v c h a n l i g i.
f( funksiya ochiq M to’plamda (M berilgan bo’lib, ( bo’lsin. Bu funksiyaning koordinatasiga
shunday (k=1,2,…,m) orttirma beraylikki , (
bo’lsin .Unda funksiya

xususiy orttirmaga ega bo’lsin.

1. 
   T a’ r i f . Agar da ushbu
   

= limit mavjud va chekli
bo’lsa, bu limit f( funksiyaning ( nuqtadagi o’zgaruvchisi bo’yicha xususiy hosilasi deyiladi va

belgilarning biri bilan belgilanadi. Demak ,
(k=1,2,…,m).
Keltirilgan ta’rifdan , f( funksiya
xususiy hosilalari bir o’zgaruvchili funksiyaning hosilasi kabi ekanligi ko’rinadi .
Binobarin , ko’p o’zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalarini hisoblashda bir o’zgaruvchili funksiyaning hosilasini hisoblashdagi ma’lum qoida va jadivallardan to’liq foydalanish mumkin .
1-m i s o l .Ushbu
f(x,y)=
funksiyaning (1,1) nuqtadagi xususiy hosilalarini hisoblang .
Ta’rifga ko’ra

bo’lsa ,
=
=

ga teng . Xddi shunga uxshash

bo’ladi.
Demak,

2-m i s o l. Ushbu
f(x,y)=
funksiyaning (0,0) nuqtada xususiy hosilalari mavjud emasligini ko’rsatadi.
Ravshanki , (x, y) da


Hosila ta’rifiga ko’ra


bo’ladi. Biroq

limitlar mavjud bo’lganligi sababli , qaralayotgan funksiyaning (0,0) nuqtada xususiy hosilalari mavjud bo’lmaydi .
3-m i s o l. Ushbu
f(x,y)=
funksiyaning xususiy hosilalarini hisoblang .
Bu funksiyaning x o’zgaruvchisi bo’yicha xususiy hosilasini hisoblashda y ni o’zgarmas , y o’zgaruvchisi bo’yicha xususiy hosilasini hisoblashda esa x ni o’zgarmas deb qaraymiz . Unda


=

bo’ladi .
4-m i s o l. Ushbu
f(x,y)=
funksiyaning xususiy hosilalarini toping .
Ikki holni qaraylik :

1. 
   (x, y) bo’lsin. Bu holda
   

=
bo’ladi.

2. 
   (x,y)=(0,0) bo’lsin .Bu holda ,hosila ta’rifidan foydalanib , topamiz :
   

Demak, berilgan funksiya ixtiyoriy (x,y) nuqtada xususiy hosilalarga ega .

5-m i s o l. Ushbu
f(x,y)=
funksiyaning (0,0) nuqtada xususiy hosilalarini toping .

Xususiy hosilalar ta’rifidan foydalanib tipamiz :

Demak,

Berilgan funksiya (0,0) nuqtada xususiy hosilalarga ega bo’lsada , u shu nuqtada uzluksiz bo’lmaydi . Chunki (0,0) nuqtaga intiluvchi
{( ,
ketma –ketlikda funksiya qiymatlaridan iborat
{f(
ketma –ketlik uchun
)=
bo’ladi . Demak,

Bu esa f(x,y) funksiyaning (0,0) nuqtada uzilishga ega ekanligini bildiradi .
f( funksiya uchun M ⊂ to’plamda berilgan bo’lib, ( bo’lsin . M to’plamda (
nuqtani olib , funksiyaning to’la orttirmasi


ni qaraymiz .

1. 
   t a’ r i f. Agar f( funksiyaning ( nuqtadagi
   

orttirmasini


+
kabi ifodalash mumkin bo’lsa, funksiya nuqtada ( bunda lar larga
bog’liq bo’lmagan o’zgarmaslar, lar esa larga bog’liq va bo’lganda deb olinadi).
Agar funksiya M tuplamning xar bir nuqtasida differensiallanuvchi bo’lsa, funksiya M to’lamda differensiallanuvchi deyiladi.
Yuqoridagi (1) munosabatni
0( (2)
ko’rinishda ham yozish mumkin. Bu yerda:

6-misol. Ushbu

funksiyaning ixtiyoriy ( nuqtada differensiallanuvchi ekanini ko’rsating.
Berilgan funksiyaning ( nuqtadagi to’la orttirmasini topamiz:

=(
=2
Agar deyilsa, unda

bo’ladi. Bu esa berilgan funksiyaning ( ) nuqtada differensiallanuvchi ekanini bildiradi.
7-misol. Agar f(x, y) funksiya ( ) nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa,
U holda bu funksiyaning shu nuqtada xususiy xosilalari mavjud va (2) munosabatdagi lar uchun

bo’lishini isbotlang.

Shartga ko’ra f(x,y) funksiya ( nuqtada differensiyallanuvchi .

Unda ta’rifga binoan

bo’ladi . Agar bu tenglikda

bo’lib,
=
bo’ladi. Demak, berilgan funksiyaning nuqtada xususiy hosilasi mavjud va

8-misol. Ushbu

Funksiyaning (0, 0) nuqtada differensiallanuvchi bo’lmasligi ko’rsatilsin.
Berilgan funksiyaning (0, 0) nuqtadagi orttirmasini topamiz:

=
Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni berilgan funksiya (0, 0) nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin deylik. Unda

bo’lib , da

Agar

=0.
bo’lishini etiborga olsak,

kelib chiqadi. Natijada ushbu

tenglikka kelamiz. Keyingi tenglikdan bo’lganda

ya’ni

Bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa da bo’lishiga ziddir. Ziddiyatning kelib chiqishiga berilgan funksiyaning (0, 0) nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin deyilishidir. Demak qaralayotgan funksiya (0, 0) nuqtada differensiallanuvchi emas.
1-eslatma. funksiyaning nuqtada barcha xusuxiy hosilalarga ega bo’lishidan uning shu nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi
har doim kelib chiqavermaydi (qaralsin, 8-misol)
9-misol. Ushbu

funksiyaning (0, 0) nuqtada xususiy hosilalarga ega bo’lishini va shu nuqtada uni differensiallanuvchi emasligini ko’rsating.