Приближенное вычисление значения функции в заданной точке с заданной точностью при помощи ряда Тейлора

МИНИСТЕРСТВО ПО РАЗВИТИЮ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И КОММУНИКАЦИЙ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ

ТЕХНОЛОГИЙ

ФАКУЛЬТЕТ: ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ 22-19

КАФЕДРА: ___________________________________

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

ПРЕДМЕТ: Математика

ТЕМА: Приближенное вычисление значения функции в заданной точке с заданной точностью при помощи ряда Тейлора

ВЫПОЛНИЛ:Эрназаров.С.Т

ПРИНЯЛ:Журабек Шакарович

Ташкент 2020

1. Приближенное вычисление значений функции

Пусть требуется вычислить значение функции f ( x) в интервале ( −R R; ) можно разложить в степенной ряд

f ( x) = a0 + a x1 + a x2 2 +K + a xn n +K

и x₁∈ −( R R; ) ,то точное значение f ( x₁) равно сумме этого ряда при x = x₁, т.е.

f ( x₁) = a₀ + a x_{1 1} + a x_{2 1}² +K+ a x_{n 1}ⁿ +K,

а приближенное – частичной сумме S_n ( x₁) , т.е.

f ( x1) ≈ Sn ( x1) = a0 + a x1 1 + a x2 12 +K + a xn 1n.

Точность этого равенства увеличивается с ростом n. Абсолютная погрешность этого приближения равна модулю остатка ряда, т.е.

f ( x₁) − S_n ( x₁) = r_n ( x₁) ,

где

rn ( x1) = an+1 1xn+1 + an+2 1xn+2 +K

Таким образом, ошибку f ( x₁) − S_n ( x₁) можно найти, оценив остаток r_n ( x₁) ряда.

Для рядов лейбницевского типа

rn ( x1) = un+1( x1) + un+2 ( x1) + un+3 ( x1) +K < un+1( x1)

В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположительный ) составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. В качестве оценки r_n ( x₁) , берут величину остатка этого нового ряда.

Пример. Вычислить arctg 0.3 с точностью ε=0.01 . Решение.

^x dx x³ x⁵ x⁷ (0.3)³ (0.3)⁵ arctg x = ^∫ 1+ x2 = x − 3 + 5 − 7 +..., arctg0.3 = 0.3− 3 + 5 +...

₀

По следствию из признака Лейбница остаток числового знакочередующегося ряда оценивается

(0.3)n+1 модулем первого отброшенного члена. R_n ≤ <0,01 . Из этого неравенства найдем n, n+1

n=2. arctg 0.3 ≈ 0,3.

2. Приближенное вычисление определенных интегралов

Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции либо нахождение первообразной сложно. b

Пусть требуется вычислить ∫ f ( x dx) с точностью до ε > 0. Если подынтегральную a

функцию f ( x) можно разложить в ряд по степеням x и интервал сходимости ( −R R; ) включит в себя отрезок [ a b; ] , то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций.

Пример. Определенный интеграл

¹ cos x −1

0∫ _x dx

вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Для разложения подынтегральной функции в ряд применим разложение

(13.26)

x2 x4 x6 _n x2n

cos x =1− + − +K + −( 1) +K, 2! 4! 6! ( 2n) !

где ряд сходится при любом значении x.

cos xx −1 = 1x ^cos x¹² −1^ = 1x 1− 2!x + x4!² − x3!³ +K+ −( 1) ⁿ ( 2xnⁿ) !+K −1 =

1 x x2 ^{n x}n−1 = − + − +K+ −( 1) +K. 2! 4! 6! ( 2n) !

Обозначим данный интеграл через S, а искомое приближенное значение интеграла через S′.

1 1 x x2 n xn−1 

S = 0∫ − 2 + 4! − 6! +K + −( 1⁾ ( 2n) ! +Kdx =

= − 12 1∫ 4!1 1 1 1 2dx +K + ( −1) n 1∫ xn−1dx +K = dx + ∫ x xd − 6! ∫ x ( 2n) !

0 0 0 0

1

=  1 1 2 − 1 x3 +K + ( −1) n xn +K=

− x + x

 2 4!2 6!3 ( 2n) !n ₀

= − 1 + 1 − 1 +K + ( −1) n +K = S′+ ( −1) n+1 +K.

2 4! 6!3 ( 2n) !n ( 2n + 2 !) ( n +1)

Для вычисления интеграла с заданной точностью достаточно, чтобы абсолютная величина последнего слагаемого в сумме S′ была меньше числа 0,001.

1 1 1

Так как = < = 0,001, то 6!3 2160 1000

S S .