Qator yaqinlashuvining zaruriy shartidan foydalanib va teylor formulasi yordamida limitlarni hisoblash

QATOR YAQINLASHUVINING ZARURIY SHARTIDAN FOYDALANIB VA TEYLOR FORMULASI YORDAMIDA LIMITLARNI HISOBLASH

Reja:
1 Sonli qator tushunchasi, geometric qator, yaqinlashuvchi qatorning sodda xossalari va uning qoldig’i.

2 Qator yaqinlashuvining zaruriy sharti, garmonik qator va Koshi kriteriyasi.
3 Teylor formulasi.
Sonli qator tushunchasi, yaqinlashuvchi qator va uning yigʻindisi










Y aqinlashuvchi qatorlarning sodda xossalari








Qatorning qoldig’i




Qator yaqinlashuvining zaruriy sharti.
Garmonik qator








Koshi teoremasi

Teylor formulasi

Ingliz matematigi Bruk Teylor matematika faniga o’zining juda ko’p ilmiy ishlari bilan katta xissa qo’shgan olimlardan biridir. Uning matematika tarixida buyuk kashfiyotlaridan biri, o’zining 29 yoshida, ya’ni 1715 – yilda yaratgan nazariyasi bilan matematika tarixida o’chmas iz qoldirdi. Bu kashfiyot nimadan iborat? Bizga funksiya berilgan bo’lsin. Mana shu funksiyani shunday ko’rinishidagi funksiya bilan yaqinlashtirish kerakki, uning uchun bo’lsin. Agar qator hadlarini yetarlicha katta olsak, u shunchalik funksiyaga yaqinlashadi. B. Teylorning bu kashfiyoti “Methodus incrementorumdirecta et inversa” deb nomlanib, lotin tilida 1715 – yili yozildi. I. Nyuton va G. Leybnits Teylor zamondoshlari bo’lib, ular differensial va integral hisob asoschilari hisoblaydi. Teylor mana shu differensial va integral hisob asocial o’zining kashfiyotini amalga oshirdi. Keyinchalik Teylor usuli bilan ko'p matematik olimlar: Lagranj, Koshi, Shlemilha, Rosh, Peano va boshqalar ilmiy izlanishlar olib bordilar. Mana shundan so'ngra usul Teylor qatori darajasiga yetdi. Hozirgi vaqtda bu qator oliy matematikaning asosini tashkil qiluvchi tushunchalardan biri bo'lib hisoblanadi. Teylor qatori yordamida har qanday funksiyani tabiatini o'rganishda juda katta yordam beradi.
Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x0 nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi.
Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x₀ nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi.
Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra, agar y=f(x) funksiya x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini   ya’ni

ko‘rinishda yozish mumkin.
Boshqacha aytganda x₀ nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali

ko‘phad mavjud bo‘lib,  da  bo‘ladi. Shuningdek, bu ko‘phad     shartlarni ham qanoatlantiradi.
Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar  nuqtaning biror atrofida aniqlangan  funksiya shu nuqtada  hosilalarga ega bo‘lsa, u holda

shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo‘lmagan  ko‘phad mavjudmi?
Bunday ko‘phadni

ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan  koeffitsientlarni topishda

shartlardan foydalanamiz. Avval P_n(x) ko‘phadning hosilalarini topamiz:





Yuqorida olingan tengliklar va (3) tenglikning har ikkala tomoniga x o‘rniga x₀ ni qo‘yib barcha  koeffitsientlar qiymatlarini topamiz:





Bulardan  hosil qilamiz. Topilgan natijalarni (3) qo‘yamiz va

ko‘rinishda ko‘phadni hosil qilamiz. Bu ko‘phad Teylor ko‘phadi deb ataladi.
Teylor ko‘phadi (2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko‘phadi ayirmasini  orqali belgilaymiz:  . (4) shartlardan  bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi  ya’ni  ekanligini ko‘rsatamiz. Agar  bo‘lsa,  ifodaning  ko‘rinishdagi aniqmaslik ekanligini ko‘rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda
, demak  da  o‘rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi: