Qisqacha aytganda, ular shunday deyishadi: r n fazodagi yopiq chegaralangan

---

Sa
aÿA
S = {Sa}
Keling, Geyne-Borel lemmasini umumiy shaklda tuzamiz. R n fazoda X yopiq
chegaralangan to'plam bo'lsin . Keyin X to'plamini qamrab oluvchi har qanday ochiq
to'plamlar tizimidan X to'plamini ham qamrab oluvchi chekli quyi tizimni ajratib ko'rsatish
mumkin.
Qisqacha aytganda, ular shunday deyishadi: R n fazodagi yopiq chegaralangan
to'plamning har bir ochiq qopqog'ida cheklangan pastki qoplama mavjud. Agar qopqoqdan
iborat bo'lsa, ochiq deyiladi
Umumiy holatda Geyne-Borel lemmasini shakllantirish uchun kiriting
Ushbu taklifni ko'p o'lchovli holatga umumlashtirish ham deyiladi
Geyne-Borel lemmasi (yoki Borel-Lebeg lemmasi) orqali beriladi.
Agar qopqoqning bir qismi S bo'lsa, S = {Sa | deb ayting a ÿ A }, bu yerda A A ning kichik
to'plami bo'lib, o'zi X to'plamning qopqog'ini hosil qiladi, keyin S X to'plamning S qopqog'ining
pastki qopqog'i deb ataladi.
Segmentni qamrab oluvchi har qanday cheksiz intervallar tizimidan
a indeksi qandaydir A to'plamdan o'tsa, X to'plamining qopqog'i deyiladi if
ushbu segmentni qamrab oladi.
raqam chizig'i, siz yakuniy quyi tizimni tanlashingiz mumkin, shuningdek
Xÿ
ochiq to'plamlardan.
qamrov tushunchasi. Tizimni sozlash
Heine-Borel lemmasi (shuningdek, Borel-Lebesgue lemmasi yoki chekli qoplama
lemmasi) tahlilda asosiy rol o'ynaydigan quyidagi faktdir:
So'zlash
Machine Translated by Google

---

a+b
2
a+b
yo'llari. Quyida ikkita dalilning konturlari keltirilgan.
biseksiya jarayoni.
chegara nuqtasi haqida sa.
lu shunday bo'ladiki, bu ketma-ketlikning har bir segmentini S dan chekli
oraliqlar bilan qoplab bo'lmaydi. Ammo, agar p segmentlar qisqaradigan nuqta
bo'lsa, u holda p [a, b] segmentida yotganligi sababli, u S tizimining qandaydir
s oralig'iga kiritilishi kerak. Keyin [ak, bk] ketma-ketlikning barcha segmentlari,
qaysidir sondan boshlab, s oralig'i bilan qoplanadi, bu esa ushbu segmentlarni
tanlashga zid keladi. Olingan qarama-qarshilik Geyne-Borel lemmasining
to'g'riligini isbotlaydi.
Birinchi dalil
Har bir qadamda segmentlarni yarmiga bo'lishda davom etamiz, biz olamiz
] va [
[a,
Heine-Borel lemmasining isboti turli yo'llar bilan amalga oshirilishi mumkin.
X ÿ R n to'plamining o'sha qopqog'ida cheklangan pastki qopqoq mavjud edi
[a, b] segmenti cheksiz S intervallar sistemasi bilan qoplansin. Faraz qilaylik,
S dan chekli oraliqlar berilgan segmentni qamrab olmaydi. [a, b] segmentini
ikkiga teng ikkita qismga bo'ling: 2 , b]. Ulardan kamida bittasini S dan
oraliqlarning cheklangan quyi tizimi qamrab olmaydi. Uni [a1, b1]
belgilang va buning uchun takrorlang
Bu isbot aniq o'zgartirishlar bilan ham amalga oshiriladi
ya'ni chegaralangan pastki qoplamning mavjudligi uchun etarli shartlar.
X to'plami yopiq va chegaralangan bo'lishi kerak. Biroq, Heine-Borel lemmasi
faqat to'g'ridan-to'g'ri bayonotdir,
uzunligi nolga moyil bo'lgan ichki o'rnatilgan segmentlar ketma-ketligi
Bu isbot Bolzano usuli (bisektsiya) bilan amalga oshiriladi va uyalangan
segmentlar bo'yicha Koshi-Kantor lemmasiga asoslanadi. Ko'p jihatdan u
Bolzano-Weierstrass lemmasining isbotiga o'xshaydi
Bundan tashqari, teskari taklif mavjud: har qanday ochiq uchun
Isbot
Machine Translated by Google

---

Intervallar sistemasi S [a, b] segmentni qoplasin. Barcha x ÿ [a, b] nuqtalar
to'plamini M bilan belgilang, ular uchun [a, x] segmenti S dan chekli oraliqlar
bilan qoplanishi mumkin. Ko'rinib turibdiki, agar [a, x ], x < x ko'rinishdagi har
qanday segment (bu erda x - sup M) S dan chekli oraliqlar bilan qoplanishi
mumkin bo'lsa, u holda [a, x segmenti uchun ham xuddi shunday bo'ladi. ]:
buning uchun x nuqtani qamrab oluvchi s ÿ S intervalini olamiz va uni
qandaydir [a, x ] segmentining chekli qoplamiga qo‘shsak, bu yerda x < x, x ÿ
s, [ segmentining chekli qoplamini olamiz. a, x]. Bundan tashqari, olingan
chekli oraliqlar quyi tizimi nafaqat [a, x] segmentini, balki [a, x] shaklidagi ba'zi
bir segmentni ham qamrab oladi, bu erda x > x.
fazo R n ixtiyoriy o'lchamli. Ko'rsatilgan dalilni va ichida topish mumkin
(o'zboshimchalik bilan metrik bo'shliq uchun darhol oxirgi kitobda).
Geyne-Borel lemmasi ba'zi mahalliy mulkni kengaytirish zarur bo'lgan hollarda
muvaffaqiyatli qo'llanilishi mumkin
haqiqiy yuqori chegaraning mavjudligi.
Uyalangan segmentlardagi Koshi-Kantor lemmasi va chegara nuqtasidagi
Bolzano-Veyershtrass lemmasi bilan bir qatorda, cheklangan qamrov bo'yicha Geyn-
Borel lemmasi tahlilning asosiy da'volaridan biridir. U bir qator muhim natijalarni
isbotlash uchun ishlatilishi mumkin.
printsip ko'rinishidagi haqiqiy sonlar to'plamining to'liqlik xossasi
Heine-Borel lemmasining yana bir isboti Lebesga bog'liq. U lemma ichki
segmentlaridan foydalanmaydi, lekin tayanadi
Birinchisidan kelib chiqadiki, M to'plamning eng kichik yuqori chegarasi M
to'plamga tegishli. Ikkinchisidan esa u b ga teng bo'lishi kerak. Shunday qilib, b ÿ M,
ya'ni [a, b] segmenti S dan chekli oraliqlar bilan qoplanishi mumkin.
Ikkinchi dalil
Tahlilda qo'llanilishi
Machine Translated by Google

---

,
Umumlashtirish
,
,
mamlakat shunday:
,
Biz e > 0 ni tuzatamiz va [a, b] segmentining har bir x nuqtasi uchun ko'rsatilgan
qo'shni Ud(x) ni tanlaymiz (har bir x o'z d = d(x) ga ega bo'ladi). Olingan intervallar
tizimi segmentning ochiq qopqog'ini hosil qiladi, undan Geine-Borel lemmasi bo'yicha
biz chekli pastki qoplamani S tanlaymiz. Ko'rinib turibdiki, d > 0 ni tanlash mumkin,
shunda d uzunlikdagi har qanday segment to'liq S qamrov oralig'ining birida
joylashgan bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, agar x
x ÿ Ud(x) ÿ |f(x ) ÿ f(x )| e
x ÿ [a, b] |x ÿ x | d ÿ |f(x ) ÿ f(x )| e
Bu f funksiya [a, b] segmentida bir xil uzluksiz ekanligini bildiradi.
x
x
R n fazoda bo'lgani kabi
Bu taklifning faqat ikkinchi qismi, shartlarning etarliligi haqida
chekli pastki qoplamaning mavjudligi.
bir xil qamrov oralig'ida joylashgan, ya'ni qiymatlar
bir xil uzluksizlik haqidagi teoremalar.
M metrik fazoning har qanday ochiq qoplamasi cheklangan pastki qoplamani o'z
ichiga olishi uchun M fazoning to'liq va to'liq chegaralangan bo'lishi zarur va etarli.
eng ko'p e bilan farqlanadi:
f funksiyaning (a, b) oraliqdagi uzluksizligi (a, b) oraliqdagi istalgan x nuqta va
ixtiyoriy e > 0 uchun x nuqtaning Ud(x) qo‘shnisi mavjudligini bildiradi, bunda istalgan
ikkita dan funksiya qiymatlari
bu nuqtalardagi funktsiyalar e dan ko'p bo'lmagan farq qiladi.
Shunday qilib, ixtiyoriy e > 0 uchun d > 0 ni topamiz, shunday qilib
Heine-Borel lemmasini ixtiyoriy metrik proga umumlashtirish mumkin
Geyne-Borel lemmasi chaqiradi
x d dan ko'p bo'lmagan farq qiladi, keyin ular
butun to'plam. Keling, dalil misolida aytilgan narsalarni ko'rsatamiz
Machine Translated by Google

---

Tarix ma'lumotnomasi
Metrik bo'shliqlardan umumiyroq tushunchaga o'tishda
quyidagi shartga ekvivalentdir: har bir hisoblanuvchi ochiq qopqoq
ushbu segmentni ham qamrab oladi. Keyinchalik, shunga o'xshash mulohazalar bilan
topologik bo'shliqlar, bu ikki shart teng emasligi ma'lum bo'ldi
har bir ochiq qopqog'ida chekli pastki fazo mavjud bo'lgan bo'shliq
Bugungi kunda Geyne-Borel lemmasi deb nomlanuvchi matematik taklifning tarixi 19-asrning
ikkinchi yarmida, matematiklar matematik tahlilning qat'iy qurilishi uchun ishonchli asoslarni izlash bilan
band bo'lgan paytdan boshlandi. Boshqalar qatorida, qat'iy isbotni talab qiladigan tahlilning asosiy
natijalaridan biri oraliqda uzluksiz har qanday funktsiya bir xil ekanligini bildiruvchi teorema edi.
qoplama.
lekin doimiy ravishda. Dirixlet 1862 yilgi ma'ruzalarida birinchi bo'lib bu teoremani isbotladi, ular faqat
1904 yilda nashr etilgan. Bunda, agar segment cheksiz oraliqlar bilan qoplangan bo'lsa, ular orasida
chekli sonni tanlash mumkin, deb bilvosita foydalandi.
Heine-Borel mulki, agar u com bo'lsa
chegaralangan pastki qoplamani o'z ichiga oladi. Bu bo'shliqlar deyiladi
M ga tegishli chegara nuqtasiga ega. Shunday qilib, ixcham metrik fazoni shunday aniqlash mumkin
edi
ixcham fazo, ya'ni uning cheksiz har qanday kichik to'plamlari
hisoblash mumkin bo'lgan ixcham.
kuchli: agar topologik fazo Geyne-Borel xossasiga ega bo'lsa, uning har bir cheksiz kichik to'plami
chegara nuqtasiga ega, lekin buning aksi har doim ham to'g'ri emas. Yilni topologik fazoning ta'rifi
sifatida kuchliroq Heine-Borel xossasi qabul qilindi. Bu erda eski ixchamlik sharti, ya'ni har qanday
cheksiz kichik to'plam uchun chegara nuqtasi mavjudligi ma'lum bo'ldi.
Ma'lum bo'lishicha, M metrik fazoga ega
Machine Translated by Google

---

E. Heine, K. Weierstrass tomonidan ishlatilgan. Birinchi bo'lib shakllantirish
yil.
- Ushbu maqolaning sarlavhasida joylashtirilgan Borel. Biroq, ko'pincha
quyidagilar qo'llaniladi: Borel-Lebesgue lemmasi, Borel lemmasi. DA
va Geyne-Borel lemmasini zamonaviyga yaqin shaklda isbotladi, 1895 yilda E.
Borel edi. Biroq, uning formulasi sanoqli sonli intervallardan iborat qoplamalar
bilan cheklangan. U 1898 yilda E. Borelning shogirdi A. Lebesg tomonidan ixtiyoriy
cheksiz muqovalar uchun umumlashtirilgan.
Matematik adabiyotlarda bu taklifni turli nomlar ostida topish mumkin. Geyne
lemmasining eng keng tarqalgan nomi
ba'zi kitoblarda bu taklif lemma emas, balki teorema deb ataladi: Geyne-Borel
teoremasi, Borel-Lebeg teoremasi. Shuningdek, topilgan
chekli qopqoq lemmasining nomi.
Machine Translated by Google