Решение. Выразим производные от функции

Замена переменных в линейных уравнениях. Формула Абеля
В этом разделе мы покажем, что существуют такие замены аргумента искомой функции или самой функции, которые позволяют существенно упростить дифференциальное уравнение или даже привести его к виду, допускающему понижение порядка. Более того, иногда уда¨ется записать общее решение уравнения, имея в сво¨ем распоряжении только часть фундаментальной системы решений дифференциального уравнения.
Начн¨ем с уравнений второго порядка. Некоторые из полученных для этого случая результатов мы позднее обобщим на линейные уравнения n-го порядка.
Пример 14.1. Для уравнения
y^′′(x) + a₁(x)y^′(x) + a₀(x)y(x) = 0 (14.1)
с помощью замены аргумента x ∈ I =]a,b[ на аргумент t ∈ J =]α,β[ соотношением x = x(t) [или t = t(x)], показать, что:
а) заменой
t = Z e−R a1(x)dxdx (14.2)
можно устранить слагаемое с первой производной и привести уравнение (14.1) к виду
) = 0; (14.3)
б) если коэффициенты уравнения (14.1) удовлетворяют условию
, (14.4)
где k,k₁ — некоторые константы, прич¨ем k = 06 , то уравнение (14.1) заменой
(14.5)
можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами
, (14.6)
если же коэффициенты a₁(x) и a₀(x) удовлетворяют условию
, (14.7)
то в этом случае k₁ = 0 и уравнение (14.6) становится не только уравнением с постоянными коэффициентами, но ещ¨е и не содержит первую производную:
) = 0; (14.8) в) в общем случае не существует замена аргументов, приводящая уравнение (14.1) к виду, не содержащему y.
Решение. Выразим производные от функции y по x через производные по новой независимой переменной t; по правилу дифференцирования сложной функции запишем
( 14.9)
.
Подставим (14.9) в (14.1):
.
Поскольку dt/dx = 06 , x ∈ I, t ∈ J, то полученное уравнение можно записать в канонической форме
и ли
(14.10)
если ввести обозначения
,
(14.11)
Из (14.10) следует, что замена аргумента не меняет характер уравнения, оставляя его линейным и однородным.
Перейд¨ем к пункту а). Потребуем, чтобы коэффициент b₁(t) обращался в нуль для всех t ∈ J. В этом случае должно выполняться равенство
d²t dt
dx2 + a1(x) dx = 0, (14.12)
которое можно рассматривать как дифференциальное уравнение для функции t(x). Это уравнение допускает понижение порядка заменой dt/dx = z(x), тогда
dz dx + a1(x)z = 0.
Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, частное решение которого легко находится:
z(x) = e−R a1(x)dx, const = C1 = 0.
П оскольку
, (14.13)
то ещ¨е одно интегрирование да¨ет
t(x) = Z e^{−R a1(x)dx}dx, const = C₂ = 0.
Полученная формула определяет замену (14.2), которая приводит уравнение (14.1) к уравнению (14.3), не содержащему первую производную. Его с уч¨етом (14.13) можно записать также в виде
. (14.14) б) В этом случае мы должны потребовать, чтобы в уравнении (14.10) коэффициенты b₀ и b₁ являлись постоянными, т.е. выполнялись равенства
= const = 06 (14.15)
(C = const = 0 соответствует a₀ = 0, и исходное уравнение (14.1) допускает понижение порядка и, следовательно, решается другими методами);
= const. (14.16)
При выполнении условий (14.15), (14.16) уравнение (14.1) становится уравнением с постоянными коэффициентами:
.
Соотношение (14.15) можно рассматривать как дифференциальное уравнение
,
из которого найд¨ем связь между t и x (14.5):

Подставив это выражение в (14.16), получим условие (14.4) для коэффициентов a₁(x) и a₀(x), т.е.
1 a′

p