Respublikasi oliy ta’lim fan va innovatsiyalar vazirligi

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI QO‘QON DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI

60110600-Matematika va informatikayo‘nalishi (sirtqi) 205/21-MI-gurux talabasi

Yaqubova Dilfuzaxon Farhodjon qizining “Funksiyaning uzluksizligi va tekis uzluksizligi” mavzusidagi

KURS ISHI

Ilmiy rahbar: Ergashxo‘jayev N Matematika kafedrasi o‘qituvchi
Qo‘qon 2023

MUNDARIJA
KIRISH 3
I BOB. UZLUKSIZ FUNKSIYALAR 5

1. 
   Funksiya va uning uzluksizligi 5
   
2. 
   Uzluksiz funksiyalar kеtma-kеtligi 11
   

II Bob Funksiyalarning tekis uzluksizligi 17

1. 
   Funksiya uzluksizligining ta’riflari 17
   
2. 
   Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari 23
   
3. 
   Funksiyaning uzilish nuqtalari 25
   
4. 
   Tekis uzluksilik 29
   

Xulosa 30
Foydalanilgan adabiyotlar 31
KIRISH
Mavzuning dolzarbligi: Biz matematik analiz kursida bir o‘zgaruvchili funksiyalarni, 𝑅𝑛 fazo va ularda aniqlangan funksiyalarni o‘rgandik, matematik analizning asosiy tushunchasi bo‘lgan funksiya tushunchasini kengaytirdik. Hozirgi zamon muammolariga matematikaning tatbiqi funksiya tushunchasini yana ham kengaytirish zaruriyatini ko‘rsatmoqda. Matematikaning biz o‘rganmoqchi bo‘lgan bo‘limi funksional analiz deb nomlanadi. Funksional analiz chekli va cheksiz o‘lchamli fazolarni o‘rganadi. Bu fazolarning elementlari funksiyalar, vektorlar, matritsalar, ketma-ketliklar, umuman olganda boshqa matematik ob’yektlardan iborat bo‘lishi mumkin. Funksional analizda matematik analiz, funksiyalar nazariyasi va to‘plamlar nazariyasi, algebra va geometriya metodlari, g‘oyalari birlashib, uyg‘unlashib o‘rganiladi. Bunda funksional bog‘lanishlar (funksiyalar) haqida eng to‘liq, chuqur tasavvur beriladi. Faraz qilaylik, moddiy nuqta tekislikda biror egri chiziq bo‘yicha A nuqtadan B nuqtaga qadar harakatlanayotgan bo‘lsin (1-rasm). Ravshanki, moddiy nuqtaning harakatlanish vaqti harakat sodir bo‘layotgan egri chiziq ko‘rinishiga bog‘liq bo‘ladi. Shunday qilib, bu misolda biz avval Hrganilgan funksional bog‘lanishlardan farqli bo‘lgan bog‘lanishga duch kelamiz. Bunda argument sifatida egri chiziq nuqtalari, funksiya qiymati esa harakatlanish vaqtini aniqlovchi sondan iborat bo‘ladi. 2-rasmda ko‘rsatilgan minorani qurish uchun qancha material ketishi M va N asoslarni tutashtiruvchi aylanma sirtga bog‘liq bo‘ladi. Bunda argument sifatida aylanma sirtlar, funksiya qiymati esa kerak bo‘ladigan material miqdorini ifodalovchi sondan iborat bo‘ladi. Kelgusida uzluksiz funksional uzluksiz funksiyalarga xos bo‘lgan ko‘pgina xossalarga ega, operatorlar esa funksiya tushunchasining eng zamonaviy, eng umumiy umumlashmasi ekanligini ko‘ramiz. Ma’lumki, Banax algebralarining paydo bo‘lishida operatorlar algebrasi asosiy rol o‘ynagan. Odatda, X chiziqli fazoni Y chiziqli fazoga aks ettiruvchi barcha chiziqli operatorlar to‘plamini L(X,Y) orqali belgilanadi va u chiziqli fazo bo‘ladi. Agar qaralayotgan fazolar normalangan fazolardan iborat bo‘lsa, u holda uzluksiz operatorlar fazosi haqida fikr yuritish mumkin. Ikki uzluksiz operatorning yig‘indisi va uzluksiz
operatorning songa ko‘paytmasi uzluksiz operator bo‘lishi, chiziqli amallarning uzluksiz ekanligidan bevosita kelib chiqadi. Agar 𝑋 = 𝑌bo‘lsa, 𝐿(𝑋, 𝑋) o‘rniga
𝐿(𝑋) yozamiz. 𝐿(𝑋) chiziqli fazoda ko‘paytma sifatida operatorlarning kompozitsiyasi, 𝑇∘𝑆 olinadi va 𝐿(𝑋) algebraga aylanadi. Bu algebrani chiziqli operatorlar algebrasi deyiladi. Operator algebralarining eng muhimlari 𝐶∗ - algebralar, fon Neyman algebralaridir. Ulardan yanada kengroq tushunchalar yordamida aniqlanadigan, o‘z–o‘ziga qo‘shma operatorlar fazosi va Yordan Banax algebralari (𝐽𝐵-algebralar) hozirgi zamon kvant mexanikasi masalalarining matematik modelini yaratishda, ularga matematik talqin berishda asosiy vazifalarni bajarishi asoslangan (Bu sohadagi batafsil ma’lumotlarni adabiyotlardan olishingiz mumkin). Bu yo‘nalishdagi rivojlanish yarim maydonlar nazariyasi yaratilganidan so‘ng kuchayib ketdi. Kvant mexanikasida fizik sistemaning tasodifiy miqdorlarini biror H, Gilbert fazosida aniqlangan o‘z-o‘ziga qo‘shma operator yordamida tasvirlash mumkinligi operatorlar algebrasiga bo‘lgan e’tiborni kuchaytirib yubordi. Ma’lum bir aksiomalar sistemasini qanoatlantiruvchi, haqiqiy algebra – yordan algebralari yuqoridagi mulohazalar asosida paydo bo‘ldi. Bu algebralar asosan algebraistlar tomonidan o‘rganilgan bo‘lsa, keyinchalik ularga boshqacha yondashuv, ya’ni algebralarda norma, tartib tushunchalarini kiritib Banax algebralari kabi tadqiq qilina boshlandi.