Самостоятельная работа №2 Вариант-14 Матрица линейного оператора

Ташкентский Университет Информационных Технологий имени Аль-Хорезми
Самостоятельная работа №2
Вариант-14
Матрица линейного оператора
Выполнил студент группы 206: Вавилов Дмитрий
Проверила: Jurayeva Nodira


Матрица линейного оператора
Определение 1. Если задан закон, который каждому вектору x ставит в соответствие вектор y , то говорят, что в линейном пространстве задан оператор A , при этом пишут:
y = A x . (*)
Определение 2. Оператор A называется линейным, если для любых x₁ и x₂ и произвольного числа выполняются условия:

Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве Eⁿ базис e₁,e₂,…,e_n и пусть в этом пространстве определён линейный оператор A : y = A x .
Разложим векторы x и y по базису e₁,e₂,…,e_n :

В силу линейности оператора A можно написать
Заметим, что каждый вектор  , следовательно, его также можно разложить по базису e₁,e₂,…,e_n, т.е.

А тогда

В силу единственности разложения по данному базису мы можем при равнять коэффициенты при базисных векторах в правых частях формул (1) и (2); тогда получим:

Получили, что линейному оператору A в данном базисе соответствует квадратная матрица

которая называется матрицей линейного оператора A , i -й столбец которой состоит из координат вектора Ae_i (i = 1,2,…,n ) относительно данного базиса. Отметим, что матрица A оператора A зависит от выбора базиса e₁,e₂,…,e_n .
Итак, мы показали, что всякому линейному оператору A в евклидовом пространстве Eⁿ соответствует матрица A; можно доказать и обратное утверждение: всякую квадратную матрицу A можно рассматривать как матрицу некоторого линейного оператора A в данном базисе e₁,e₂,…,e_n .
Представляют интерес невырожденные линейные операторы, т.е. такие операторы, матрицы которых имеют обратную A^-1 , т.е. также являются невырожденными. В этом случае каждому вектору y (образу), определённому соотношением, отвечает единственный вектор x (прообраз) и при этом имеет место матричное равенство: X = A^-1 Y .
Примеры линейных операторов
1. В пространстве 2-мерных векторов линейным оператором является правило

связывающее вектор-прообраз  с вектором-образом 
2. В пространстве бесконечно дифференцируемых функций линейным оператором является операция дифференцирования, ставящая в соответствие каждому элементу этого пространства его производную функцию.
3. В пространстве многочленов P_n (t) линейным оператором является операция умножения многочлена на независимую переменную t .
Пример: Известны образы базисных векторов E³ под действием оператора A :

Найти матрицу этого оператора в исходном базисе.
Решение: По определению y = A x, значит в матричном виде можно записать, что A = X^-1Y . Для нашего примера получаем

Действия над операторами
Сложение линейных операторов. Пусть x Eⁿ, A и B — два линейных оператора в этом пространстве.
Определение 1. Суммой линейных операторов A и B в Eⁿ называется оператор C, определяемый равенством Cx = A x + Bx , где x – любой вектор из Eⁿ .
Сумма линейных операторов является линейным оператором, причём его матрица C = A + B, где A и B — матрицы линейных операторов A и B .
Умножение линейного оператора на число. Пусть x Eⁿ , линейный оператор A определён в Eⁿ , — некоторое число.
Определение 2. Произведением линейного оператора A на число называется оператор A , определяемый равенством  .
A является линейным оператором, а матрица этого линейного оператора получается из матрицы A умножением её на число , т.е. она равна A.
Умножение линейных операторов. Пусть x Eⁿ , y Eⁿ , z Eⁿ и кроме того в Eⁿ определены линейные операторы A и B таким образом, что y = Bx, z = A y .
Определение 3. Произведением A B линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый соотношением Cx = A (Bx) .
Таким образом, перемножение линейных операторов состоит в последовательном их применении по отношению к вектору x .
Рассмотрим матрицы – столбцы:

и обозначим через A, B и C — соответственно матрицы линейных операторов A, B и C. Тогда Z = A (B X) = (A B) X = C X , таким образом, C = A B, т.е. матрица произведения линейных операторов также является линейным оператором.
a) (A B)(x + y) = A (B(x + y)) = A (Bx + By) = A (Bx) + A (By) = = (A B) x + (A B) y
б) (A B)( x) = A (B( x)) = A ( Bx) = A (Bx) = (A B)x
Свойства умножения линейных операторов вытекают из свойств умножения матриц.
Определение 4. Линейные операторы A и В называются равными, если  . Равенство операторов обозначается как A = B .
Определение 5. Оператор E называется единичным (или тождественным) оператором, если каждому элементу x линейного пространства  он ставит в соответствие тот же самый элемент, то есть