Сборник задач по математическому анализу. Функций несколько переменных учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии

1. 
   Область определения, линии уровня функции нескольких переменных
   

Изобразите области определения функций:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   )
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   
9. 
   
   
10. 
    
    

Постройте линии уровня функций

11. 
    
    
12. 
    
    
13. 
    
    
14. 
    
    
15. 
    
    
16. 
    
    
17. 
    
    
18. 
    
    
19. 
    
    
20. 
    
    

Учебное издание

Логвенков Сергей Алексеевич

Мышкин Петр Анатольевич
Самовол Владимир Симхович

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКО ПЕРЕМЕННЫХ
Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии.

Учебное пособие

Редактор
Корректор

Оригинал-макет
Оформление

Лицензия
Подписано в печать Формат

Усл. печ. л. Тираж 500экз.
Пример 1.1
1)
В этом примере мы воспользовались тем, что предел элементарной функций в области ее определения равен значению функции в точке.
2)
В этом примере мы воспользовались тем, что x есть бесконечно малая функция, есть ограниченная функция (по модуля меньшая единицы), а произведение бесконечно малой на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.
3)
Здесь мы воспользовались первым замечательным пределом.
4) не существует, т.к. функция стремится к разным числам при различных способах приближения точки к точке (0,0):
при x = y имеем ,
при x = 2y имеем .
Определение. Функция f(M) называется непрерывной в точке M₀ , если

Свойства непрерывной в точке функции нескольких переменных аналогичны свойствам функции одной переменной.
Пример 1.2. 1). Функция - элементарная и поэтому непрерывна во всех точках, кроме точки (0, 0) , где функция не определена.
2) Функция - элементарная и поэтому непрерывна во всех точках, кроме точек линии y = x² , где функция не определена.
53. Исследовать существование и найти
, ,
если
а)
б)
в)
г)
д)
2. Частные производные. Производная сложной функции. Градиент. Производная по направлению.

Найдите частные производные первого порядка следующих функции:

2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21. Проверьте, что функция удовлетворяет уравнению
2.22. Проверьте, что функция удовлетворяет уравнению
2.23. Проверьте, что функция удовлетворяет уравнению
2.24. Проверьте, что функция удовлетворяет уравнению
2.25. Проверьте, что функция удовлетворяет уравнению
2.26. Проверьте, что функция удовлетворяет уравнению
2.27. Найдите и , если и
2.28. Найдите и , если и
2.29. Найдите , и , если и
2.30. Найдите , и , если и
2.31. Найдите , если и
2.32. Найдите , если и
2.33.
2.34.
2.35.
2.36.
2.37.
2.38.
2.39.