Science and Education

"Science and Education" Scientific Journal August 2021 / Volume 2 Issue 8

1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va uning yechimi. Ma'lumki, bir sistemasi deyiladi.
Quyidagi
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va ularni yechish
usullari




necha tenglamalar birgalikda qaralsa,

ularga

tenglamalar

a11x1 + a12x2 + ... + a1n xn = b1,
^a₂₁^x₁ ^{+ a}₂₂^x₂ ^{+...+ a}_2n^x_n^{= b}₂^,


(1)
a x + a x + ... + a x = b
m1 1 m 2 2 mn n m
sistemaga ⁿ noma'lumli ^m ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi (yoki soddalik uchun chiziqli tenglamalar sistemasi) deyiladi. Bu yerda ^a11^{, a}12^{, , a}mn

• • •>
sonlar (1) sistemaning koeffitsiyentlari, ^xi’ ^x2’^xn lar noma'lumlar, ^b^^b2’^."’^bm sonlar esa ozod hadlar deyiladi.

matritsa tenglamalar sistemasining asosiy
2 ^{,..., x}n ⁾ _{ustun vektor, ozod hadlarni} ^{B - (b}i^,b2 ^,..

	' ^a11	^a12	...	^a1n '
A-	^a 21	^a22	...	^a2 n
	< ^am1	^am2	...	^amn J

Tenglamalar sistemasi koeffisiyentlaridan tuzilgan matritsasi deyiladi. Noma'lumlar _vektorini ^{X =(x}1^,x2^,...,xn⁾ _{ustun vektor, ozod hadlarni} ^{B =(b}1^,b2^,...,bm⁾ _ustun vektor shaklida ifodalaymiz. U holda tenglamalar sistemasi quyidagi matritsa shaklida yozilishi mumkin:
AX - B.

1. 
   ta’rif. Agar ^ai»^a2^-»^a„ sonlar ^xi’^x2---^xn laming o‘rniga qo‘yilganda (1) sistemadagi tenglamalarni to‘g‘ri tenglikka aylantirsa, bu sonlarga (1) sistemaning yechimlari tizimi, deb aytiladi va ^X =^{(oa a} "'^{, a,n)} kabi belgilanadi.
   
2. 
   ta’rif. Chiziqli tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega bo‘lsa, u holda bunday sistema birgalikda deyiladi.
   

<
l-misiL ega.
3-ta’rif. Bitta ham yechimga ega bo‘lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘lmagan sistema deyiladi.
x+ y+ z =1,
^{3x +} 3y⁺ 3z - ⁵ _sistema yechimga ega bo‘lmaganligi sababli
x-y-2,
^2x+y-7 sistema birgalikda chunki sistema ^x-3,y-i yechimga
_<
2-mis 2-. birgalikda emas.

4. 
   ta’rif. Birgalikda bo‘lgan sistema yagona yechimga ega bo‘lsa, aniq sistema va cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lsa aniqmas sistema deyiladi.
   

x-y-i, 2x-2 y-2,

3-misol.
x — a ^y = ^{-1 + a}
•>
haqiqiy son.
^3x-3y-3 sistema birgalikda, ammo aniqmas, chunki bu sistema ko‘rinishdagi cheksiz ko‘p yechimga ega, bunda ^a -ixtiyoriy

4. 
   ta'rif. Birgalikda bo‘lgan tenglamalar sistemasilari bir xil yechimlar tizimiga ega bo‘lsa, bunday sistemalar ekvivalent sistemalar deyiladi.
   

4. 
   misol. Quyidagi ikkita tenglamalar sistemasini qaraymiz
   

2 x + 3 y = 5
<

• 
  ^{x + 2y} = ³ (a) tenglamalar sistemasining yechimi ^(x’ ^y) =^(1,1).
  

'3x - 2y = 1
_<

• 
  ^3x+y=4 (b) tenglamalar sistemasining yechimi ^{(x, y) = (1,1)} .
  

(a) va (b) tenglamalar sistemasi ekvivalent tenglamalar sistemasi deyiladi.
Izoh: Berilgan tenglamalar sistemasining birorta tenglamasini noldan farqli songa ko‘paytirib, boshqa tenglamasiga hadma-had qo‘shish bilan hosil bo‘lgan sistema berilgan sistemaga ekvivalent bo‘ladi.

4. 
   misol.
   

x + 3 y = 5
_<
-^3x y = ⁵ (a) tenglamalar sistemadagi 1-tenglamani (-3) ga ko‘paytirib 2- tenglamaga qo‘shib quyidagini hosil qilamiz:
x + 3 y = 5
_<
^{--10y = -10} (b) natijada (a) va (b) tenglamalar sistemasi ekvivalent.
Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimga ega yoki ega emasligini quyidagi teorema yordamida aniqlash mumkin.

2. 
   Chiziqli algebraic tenglamalar sistemasining yechimi mavjudligining zaruriy va yetarli sharti (Kroneker-Kapelli teoremasi).
   

1-teorema (Kroneker-Kapelli teoremasi). Chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun uning ^A asosiy matritsasi va kengaytirilgan ^{(A| B)} matritsalarining ranglari teng bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilamiz (1) sistema birgalikda bo‘lsin. U holda uning
biror yechimi mavjud va ^xi = ^^,x2 = ^,...,xn = dan iborat bo‘lsin.
Bu yechimni (1) chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma'lumlar o‘rniga qo‘ysak:
^aJ1 ^{+ a}i2^2 ^{+ L + a}in^n = ^b^ ' = ^1,2,...^,m (₂)
ega bo‘lamiz.
Bu tengliklar majmuasi quyidagi tenglikka ekvivalent:

f a ^aii		f a ^a12		f a A ^a1n
^a21	^+ ^2	^a22	+L + tn	^a2 n
M		M		M
< ^am1 )		< ^am 2 )		^amn )

f b
b2

\ ^bm )

i = 1, 2,...,m
(3)

Bundan (1) sistemaning kengaytirilgan matritsasi oxirgi ustuni asosiy matritsa ustunlari chiziqli kombinatsiyasidan iborat ekanligi kelib chiqadi. Ma'lumki matritsaning rangi ustunlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lgan ustunni tashlab yuborilganda o‘zgarmaydi. Kengaytirilgan matritsadan ozod hadlar ustunini olib tashlasak sistemaning asosiy matritsasiga ega bo‘lamiz. Demak, asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng. Shuni isbotlash talab etilgan edi.
Yetarliligi. Aytaylik asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng,
r ( a) = r ( Ab )
^A (asosiy) matritsaning ^r ta bazis ustunlarini ajratamiz, bular (AB) (kengaytirilgan) matritsaning ham bazis ustunlari bo‘ladi. Faraz qilamiz birinchi ^r ta ustun bazis bo‘lsin.
Bazis minor haqidagi teoremaga asosan ^A matritsaning oxirgi ustuni bazis
ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida tasvirlanishi mumkin. Bu esa:

^a11		^ai2
^a21	^+ ^2	^a22
M		M
^a		^a

+L

⁺ ^r

c _a
^a1r

^a2r

C b 1
b2
M
\ ^bm j

munosabatni qanoatlantiruvchi %^i,%^2,...,%r lar mavjudligini bildiradi. Oxirgi munosabat quyidagi ^m ta tenglamalarga ekvivalent:

^aAl ^{+ a}i2^2 ^{+L + a}Ar = A ^Z = ^1,2,...^,m
Agar (1) tenglamalar sistemasiga
* = £ ^,X2 =^2 ^,...^,Xr =^r^,Xr+1 = ^{0 ,}...^,Xn = ⁰ , (4) qo‘ysak, u holda tenglamalar sistemasi (2) ga aylanadi. Bundan noma'lumlarning (4) qiymati (1) sistemadagi barcha tenglamalarni qanoatlantiradi, ya'ni sistema yechimga ega bo‘ladi. Teorema isbotlandi .
Kroneker - Kapelli teoremasiga ko‘ra birgalikda bo‘lgan tenglamalar sistemasining asosiy A matritsasi rangi bilan uning kengaytirilgan (AB) matritsasining ranglari teng. ^r = ^{r (A)} = ^{r (}A^AB⁾ qiymatni berilgan sistemaning rangi deb ataymiz. A matritsaning biror bazis minorini belgilab olamiz. Bazis satrlarga mos bo‘lgan tenglamalarni berilgan sistemaning bazis tenglamalari deb ataymiz. Bazis tenglamalar bazis sistemani tashkil etadi. Bazis ustunlarda qatnashgan noma'lumlarni bazis o‘zgaruvchilar, qolganlarini ozod o‘zgaruvchilar, deb ataymiz.
Oldingi mavzularda berilgan bazis minor haqidagi teoremadan quyidagi tasdiq o‘rinliligi kelib chiqadi.
2-teorema. Chiziqli tenglamalar sistemasi o‘zining bazis tenglamalar sistemasiga ekvivalent.
Soddalik uchun (1) sistemada birinchi ^r ta tenglama bazis tenglama bo‘lsin. Yuqorida keltirilgan teoremaga asosan:
^ai1 ^X1 ^{+ a}i 2 ^X2 ^{+ L + a}in^xn = ^bV ¹ = ^1,2,...^,r (₅)
bazis tenglamalar sistemasi berilgan (1) sistemaga ekvivalent. Shuning uchun (1) tenglamalar sistemasi o‘rniga uning rangiga teng bo‘lgan (5) sistemani tadqiq etish yetarli.
O‘z-o‘zidan ko‘rinadiki matritsaning rangi ustunlar sonidan katta emas, ya'ni ^r -ⁿ. Boshqacha aytganda birgalikdagi sistemaning rangi noma'lumlar sonidan oshmaydi.
Bu yerda ikki hol bo‘lishi mumkin:

1. 
   ^r = ⁿ;
   

^r = ⁿ, ya'ni bazis sistemada tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng bo‘lsin. Bazis sistemani quyidagicha ifodalaymiz A^bX = B^b. Bunda A^b bazis minorga mos matritsa. ^det(A^b) * ⁰ bo‘lganligi sababli, A^b mavjud va
X = EX = A_b^-1A_bX = A_b^-1( A_bX ) = A_b^-1B
tenglik yagona yechimni ifodalaydi.

2. 
   ^r < ⁿ bo‘lsin. Tenglamalarda ^xi’^x2,...^,Xr bazis noma'lumlar qatnashmagan barcha hadlarni uning o‘ng tomoniga o‘tkazamiz. U holda (5) sistema:
   

^ai1 ^X1 ⁺ a22* ⁺ L ^{+ a}r^xr = ^{b - a}r+1 ^Xr+1 ^{-L - a},n^xn . (5)
ko‘rinishni oladi.
Agar erki ^Xr,Xrx« noma'lumlarga biror +^i,...,^n sonli qiymatlarni bersak, u holda ^xi’-"’^Xr o‘zgaruvchilarga nisbatan tenglamalar sistemasini olamiz va bu sistemada noma'lumlar soni asosiy matritsa rangiga teng bo‘lganligi sababli u yagona yechimga ega. Erkli noma'lumlar qiymati ixtiyoriy tanlanganligi sistemaning umumiy yechimlari soni cheksiz ko‘p.
Izoh: Shunday qilib:

1. 
   . ^ran^gA ^ran^gA bo‘lsa, tenglamalar sistemasi birgalikda emas;
   
2. 
   . ^{rangA = rangA = r = n} bo‘lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega;
   
3. 
   . ^{rangA = rang A = r < n} bo‘lsa, tenglamalar
   

sistemasi cheksiz ko‘p yechimga ega.
Fan va texnikadaning ko‘p sohalarida bo‘lganidek, iqtisodiyotning ham ko‘p masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi.

4. 
   misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari quyidagi jadvalda berilgan.
   

Xom ashyo turlari	Mahsulot turlari bo‘yicha xom ashyo sarflari			Xom ashyo zahirasi
	A	B	C
1	5	12	7		2000
2	10	6	8		1660
3	9	11	4		2070

Berilgan xom ashyo zahirasi to‘la sarflansa, mahsulot turlari bo‘yicha ishlab chiqarish hajmini aniqlashning matematik modelini tuzing.
Yechish. Ishlab chiqarilishi kerak bo‘lgan mahsulotlar hajmini mos ravishda ^x1,x2,x3 lar bilan belgilaymiz. Bir birlik A turdagi mahsulotga, 1-xil xom ashyo sarfi 5x
5 birlik bo‘lganligi uchun ^5x A turdagi mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1- xil- xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday B va C turdagi mahsulotlarni 12x 7 x
ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda ^12x2 , ^7x3 bo‘lib, uning uchun quyidagi tenglama o‘rinli bo‘ladi:
5x +12x +7x = 2000
Yuqoridagiga o‘xshash 2-, 3-xil xom ashyolar uchun 10x + 6x + 8x =1660, 9x + 11x + 4x = 2070
tenglamalar hosil bo‘ladi. Demak, masala shartlaridan quyidagi uch noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu masalaning matematik modeli quyidagi uch noma'lumli chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat bo‘ladi:
5x₁ +12x₂ + 7x₃ = 2000,
< 10 Xj + 6x₂ + 8x₃ = 1660,
9 Xj + 11x₂ + 4x₃ = 2070.

2. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli.
   

Determinantlarni chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga tatbiqi bo‘lgan Kramer (determinant) usuli bilan tanishamiz. Aytaylik, bizga ⁿ ta noma'lumli ⁿ ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:
+ a1nxn = b1
+a2nxn= b2



an1x1+an2x2 +

+ a x =b
^{nn n n} ₍₆₎

^a₁₁^{, a}₁₂ ^{,..., a}_nn

koeffitsientlar,
_{Bu yerda} ^x1^,x2^,...,xn ^-_noma'lumlar,
^b1^,b2^,...,bn ^-_{ozod sonlar.}
Teorema 1.6. Agar (1.4.1)- tenglamalar sistemasining asosiy determinanti noldan farqli bo‘lsa, u holda sistema yagona yechimga ega bo‘ladi va u quyidagi formulalardan topiladi .






^A ■
^Xn ^X

X2
... ,

^x1

A * 0 , x₁

A
—_ ¹
A , 2 2 2 ' n 2
A A A (₇)
Bu Kramer formulasidan iborat. Bu yerda ^{A 0} ga bosh determinant, ^Ax1^,Ax2 ^,Ax3^,...,Axnlarga yordamchi determinantlar deyiladi. Soddalik uchun uch noma'lumli, uchta chiziqli tenglamalar sistemasini qaraymiz:

a x+a y+a z _b
a x+a y+a z _b ^a31^{x + a}32 ^{y + a}33^{z _ b}3 _{(8) (1.4.3)}
uch noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda dastlab bosh
(asosiy) determinant









^a11

^a12 ^a13

A=

^a21

^a22 ^a23

^a31

^a32 ^a33

(9)

topiladi.
bo‘lsin. Undan so‘ng yordamchi determinantlar hisoblanadi
(bunda bosh determinantning ustun elementlari mos ravsihda ozod hadlar bilan almashtiriladi):







^b1 ^a12 ^a13

^b2 ^a22

^a23

^b3 ^a32

^a33

^a11 ^b1 ^a13		^a11 ^a12 ^b1
^a21 ^b2 ^a23	, A z =	^a21 ^a22 ^b2
^a31 ^b3 ^a33		^a31 ^a32 ^b3	(10)

Noma'lumlar quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:



_z=A.

(11)
_ A x
•X ■
A