Системой материальных точек (или тел)

Системой материальных точек (или тел) называется любая, выделенная нами их совокупность. Каждое тело системы может взаимодействовать как с телами, принадлежащими этой системе, так и с телами, не входящими в нее. Силы, действующие между телами системы, называются внутренними силами. Силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в данную систему, называются внешними силами. Система называется замкнутой (или изолированной), если она включает в себя все взаимодействующие тела. Таким образом, в замкнутой системе действуют только внутренние силы.Строго говоря, замкнутых систем в природе не существует. Однако практически всегда можно так сформулировать задачу, чтобы внешними силами можно было пренебречь (из-за их малости или скомпенсированное™, т.е. взаимоуничтожения) по сравнению с внутренними. Выбор воображаемой поверхности, ограничивающей систему, является прерогативой (свободной волей) субъекта, т.е. должен осуществляться исследователем на основе анализа внутренних и внешних сил. Одна и та же система тел может считаться замкнутой или открытой в различных условиях, зависящих от постановки задачи и от заданной точности ее решения.В замкнутой системе тел все явления описываются с помощью простых и общих законов, поэтому, если допускают условия задачи, то следует пренебречь малым действием внешних сил и рассматривать систему как замкнутую. Это и есть то, что часто называют физической моделью объективной реальности.Частным случаем идеальной механической системы является абсолютно твердое тело, которое не может ни деформироваться, ни изменяться в объеме, ни тем более разрушаться (очевидно, что таких тел в природе нет): расстояние между отдельными материальными точками, образующими такую систему, остаются постоянными при всех видах взаимодействия.Теперь введем очень важное в механике понятие центра масс (центра инерции) системы материальных точек. Возьмем систему, состоящую из N материальных точек. Центром масс механической системы называется точка С, радиус-вектор положения которой в произвольно выбранной системе отсчета задан соотношением: 
где /и, — масса материальной точки; /; — радиус-вектор, проведенный из начала координат системы отсчета в точку, где находится /И/.
Если поместить начало координат в точку С, то Rc = 0 и тогда


Центр масс С на примере системы двух тел что приводит к другому определению центра масс: центр масс механической системы — это такая точка, для которой сумма произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на их радиус-векторы, проведенные из этой точки, как начала координат, равны нулю. На рисунке 1.11 это проиллюстрировано на примере системы, состоящей из двух тел (например двухатомной молекулы).
Радиус-вектор Rc этой системы МТ в декартовой системе координат имеет координаты Х_с, Y_c, Z_c (общий трехмерный случай). При этом положение центра масс может быть определено следующими уравнениями^[1]:

где М — суммарная масса механической системы 
До сих пор мы оперировали совокупностью N дискретных материальных точек. А как быть с определением центра масс протяженного тела, масса которого распределена в пространстве непрерывно? Естественно перейти в этом случае от суммирования в (1.68)—(1.70) к интегрированию. При этом в векторной форме мы получим

а в координатной

Для имеющих плоскость симметрии (как в примере) тел центр масс располагается в этой плоскости. Если тело обладает осью симметрии (ось х в нашем примере), то центр масс непременно должен лежать на этой оси, если тело обладает центром симметрии (например, как в случае однородного шара), то этот центр должен совпадать с положением центра масс.
Для того чтобы определить, как движется центр масс системы, запишем выражения (1.70) в виде 
и продифференцируем их дважды по времени (все массы полагаем постоянными)

Сопоставив полученные равенства с выражениями (1.51), получаем 
или (в векторной форме)


Эти уравнения, называемые дифференциальными уравнениями движения центра масс, совпадают по структуре с дифференциальными уравнениями движения материальной точки. Это позволяет сформулировать теорему о движении центра масс: центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
Если на систему не действуют внешние силы (F_t = 0 или т.е. действие внешних сил скомпенсировано), то

т.е. скорость движения центра масс замкнутой системы всегда остается постоянной (сохраняется). Внутренние силы на движение центра масс системы никакого воздействия не оказывают. Если, в частности, в данной инерциальной системе координат центр масс замкнутой системы в один из моментов времени покоится, то это значит, что он будет находиться в покое всегда.Многие задачи механики решаются наиболее просто в системе координат, связанной с центром масс.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси Z – скалярная физическая величина , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определённого относительно произвольной точки О данной оси Z.Значение момента импульса не зависит от положения точки О на оси Z.Момент импульса отдельной точки вращающегося абсолютно твёрдого тела

П ри вращении абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси Z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса с некоторой скоростью . Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, то есть радиус – плечо вектора . Тогда момент импульса отдельной частицы и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта (рис. 75). Момент импульса абсолютно твёрдого тела относительно неподвижной оси Z

Уравнение вращательного движения тела можно записывать не только относительно неподвижной или равномерно движущейся оси, но и относительно оси, движущейся с ускорением.Основное уравнение динамики вращательного движения не изменяет своего вида и в случае ускоренно движущихся осей при условии, что ось вращения проходит через центр массы тела и что её направление в пространстве остается неизменным. Примером может служить качение тела (обруч, цилиндр, шар) по наклонной плоскости с трением Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести и силы реакции относительно оси O равны нулю. Момент M создает только сила трения: M = F_тр∙R.

Моментом инерции тела относительно оси вращения называется сумма произведений элементарных масс на квадрат расстояния от оси вращения

Для тела с неравномерно распределенной массой элементарная масса

где _i - плотность в данной точке, V_i – элементарный объем. Поэтому момент инерции тела будет равен

Если  = сonst, то

Переходя к пределу получим, что

Интегралы берутся по всему объёму тела, причём величины и являются функциями точки (например, декартовых координат и ).