Tayanch so`zlar: funksiyalar ketma-ketligi, o`lchоvli to`plam, o`lchоvli funksiya 1-teorema

Lebeg va Riss teoremalari

Reja:

1. 
   Lebeg teoremasi
   
2. 
   Riss teoremasi
   

Tayanch so`zlar: funksiyalar ketma-ketligi, o`lchоvli to`plam, o`lchоvli funksiya
1-teorema. O`lchovli E to`plamda o`lchovli , ,…. funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo`lsin . Agar E to`plamning har bir x nuqtasida

tenglik bajarilsa, u holda f(x) funksiya E to`plamda o`lchovli bo`ladi.
Isbot. Ixtiyoriy o`zgarmas sonni olib,

va

to`plarni tuzamiz. funksiya o`lchovli bo`lgani uchun to`plamlar o`lchovli. 6- ma`ruzadagi 5-teoremaga muvofiq to`plamlar ham o`lchovli bo`ladi.
Agar

tenglikni isbot qilsak, u holda 6- ma`ruzadagi 3-teoremaga asosan teorema isbot qilingan bo`ladi.
Bu tenglikni isbot qilish uchun quyidagi ikki munosabatning to`g`riligini ko`rsatish kifoya:
(1)
(2)
Faraz qilaylik, nuqta E{f>a} to`plamning ixtiyoriy elementi bo`lsin, ya`ni ; bu tengsizlikdan foydalanib, yetarli katta m natural son uchun ushbu

tengsizlikni yozishimiz mumkin.Ammo demak, shunday n natural sonni topish mumkinki,barcha k n uchun

ya`ni munosabat o`rinli bo`ladi. Bundan ko`rinadiki,
,
ya`ni E{f>a} to`plamning ixtiyoriy elementi to`plamga ham
kirar ekan.
Demak, (1)munosabat isbot bo`ldi. Endi (2) munosabatni isbotlaymiz.
bo`lsin; u holda shunday m va n natural sonlar mavjudki, ular uchun munosabat o`rinli. So`nggi munosabatdan barcha uchun . Ya`ni

munosabat kelib chiqadi.
ga nisbatan limitga o`tsak, quyidagi tengsizlikka kelamiz:

ya`ni

Bu bilan (2) munosabat ham isbot bo`ldi.