Tema: Ortogonallı proekciyalar. Reje: Ortogonal hám ortonormal sistemalar

TEMA: Ortogonallı proekciyalar.

REJE:

1.Ortogonal hám ortonormal sistemalar
2.Ortogonal proekciyası haqqında túsinik
3.Mısallar shıǵarıw usılları

Koshi-Bunyakoviskiy teńsizligi qálegen eki nólden ayrıqsha x hám y vektorlar arasındaǵı múyesh tárepin kiritiwge imkan beredi:

Jóneltirilgen kesindiler keńisliginde múyeshdiń bul anıqlaması múyeshdiń anıqlamasına aylanadı.
Anıqlama: Eger x hám y vektorlar arasındaǵı múyesh ge teń boladı, bul vektorlar ortaganal dep ataladı.
Eger x hám y vektorlar ortaganal bolsa, y halda Kerisinshe, nólden ayrıqsha x hám y vektorlar ushın bolsa, olar ortaganal.
Demek, joqaridaǵı anıqlamanı tómendegishe aytsaqda boladı. Eger nólden paerqlı x hám y vektorlar ushın bolsa, olar ortaganal dep ataladı.
Evklid keńislikdegi vektorlar dizimine kiriwshi hár qanday eki vektor ortaganal bolsa, bul dizim ortaganal dep atańadı. Eger ortaganal dizimge kiriwshi hár bir vektordıń uzınlıǵı birge teń bolsa, bul dizim ortanormal dep ataladı. Hár qanday ortaganal dizimdi, odaǵı hár bir vektordı uzınlıǵina bólip, ortaganal dizimge aylandırıw múmkin.
Mısallar kóremiz. C evklid keńisliginde vektordan ibarat usı

Vektorlar dizimi ortaganal, sebebi hár qanday pútin k hám n ler ushın

Hár bir vektordı onıń uzınlıǵına bólip, usı

Oronormal dizimdi alamız.
Teorema: Shekli ólshemli evlid keńislikde ortanormal dizimler anıq.
Dálillew. Haqıyqattan simetrik bisızıqlı formanıń kanonik bazisi bar. Bul bazis vektorları ortaganal, sebebi bolǵanda Bul ortaganal bazisge kelemiz.
V evklid keńislikde ortaganal bazis hám sanlar x vektorınıń bul bazisdegi koordinataları bolsın. Ol jaǵdayda

Demek

Eger sanlar y vektorınıń úsh bazisdaǵı koordinataları bolsa, ol jaǵdayda

Atap aytqanda, x=y ushın
hám
V keńislik spatında tegislikdegi jóneltirilgen kesindiler keńisligin alsaq, aqırǵı teńlik Pifagordiń classik teoremasın beredi. Sonıń ushın aqırǵı tasdıqqa Pifagor teoremanıń júde keń ulıwmalasqandep qaraw múmkin.
V Evklid keńisliginde úles keńislik hám vektor berilgen bolsın. Eger vektor úles keńisliktiń hár bir vektorına ortogonal bolsa, vektor úles keńislikke ortogonal delinedi.
Anıqlama . úles keńislikke tiyisli bolmaǵan vektor ushın sonday vektor tabılsın , vektor úles keńislikke ortogonal bolsa , bunday vektor vektordıń úles keńislikke ortogonal proekciyası (sayası) dep ataladı.
Yaǵnıy , eger vektor úles keńislik ortogonal bolsa , ol jaǵdayda nol vektor vektor ortogonal proekciyası boladı.
1-teorama. Eger vektor vektorınıń ortogonal proekciyası bolsa, ol jaǵdayda vektorǵa teń bolmaǵan hár qanday vektor ushın teńsizlik orınlı ( yaǵnıy Evklid metrikasında vektor úles keńisliginde vektorǵa eń jaqın vektor) .
Dáliylleniwi. Haqıyqatında da, vektor dıń nólden parqlı vektorı hám
( ; . Sonıń ushın

Bunnan .

2- teorema. Eger ---- Evklid úles keńislikdiń shekli ólshemli úles keńislik bolsa , ol jaǵdayda ǵa tiyisli bolmaǵan hár qanday vektor jalǵız ortogonal proekciyaǵa iye.