Toshkent davlat texnika universiteti "oliy matematika" kafedrasi
Download 0.94 Mb. Pdf ko'rish
|
2-курс сиртқилар учун мустақил иш 19-20 (45 та вариант)
- Bu sahifa navigatsiya:
- “OLIY MATEMATIKA” KAFEDRASI
- O„quv uslubiy boshqarma boshlig„i ___________ N. Mambetov
- 2-Misol
|
1
MAXSUS TA‟LIM VAZIRLIGI TOSHKENT DAVLAT TEXNIKA UNIVERSITETI
“OLIY MATEMATIKA” KAFEDRASI sirtqi ta‟lim yo‟nalishlari uchun (2-kurs, IV-semestr)
“TASDIQLAYMAN” O„quv ishlari bo„yicha prorektor ________________ O.O.Zaripov “___” _________ 2019 yil
2
Ushbu sitqi ta‟lim yo‟nalishi talabalari uchun tuzilgan topshiriqlar to‟plami oily matematika fanining ehtimollar nazariyasi bo‟limini o‟z ichiga olingan. Fanning ko„rsatilgan bo‟limlaridan talabalar uchun nazariy va amaliy topshiriqlar tuzilgan.
Ushbu topshiriqlar to‟plami mashinasozlik fakultetining “Oliy matematika” kafedrasi majlisida (2019 yil “ ” oktyabr -son bayonnoma) muhokoma etildi.
“Oliy matematika” kafedra mudiri _______ dots. Sh.T. Pirmatov “Oliy matematika” kafedrasi kotibi ________ kat.o„q. G. Abdikayimova Ushbu topshiriqlar to‟plami universitetning Ilmiy-uslubiy kengashida ko„rib chiqildi va tasdiqlandi. (2019 yil “ ” ______ - son bayonnoma).
O„quv uslubiy boshqarma boshlig„i ___________ N. Mambetov 3
1. Elementar hodisalar fazosi. 2. Tasodifiy hodisalar ustida amallar. 3. Ehtimolning klassik ta‟rifi. Geometrik ehtimol. 4. Shartli ehtimol. Hodisalarning erkliligi 5. Ehtimollarni qo‟shish va ko‟paytirish teoremalari. 6. To‟la ehtimol. Bayyes formulasi 7. Bernulli formulasi va Puassonning taqribiy formulasi. 8. Hodisalar yuz berishining eng ehtimolli soni 9. Muavr-Laplasning local va integral teoremalari. 10. Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari. 11. Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari. 12. Ikki o‟lchovli tasodifiy miqdorlar. Korrelyatsiya koeffisiyenti. 13. Tanlama. Tanlamaning empirik funksiyasi. 14. Gistogramma. 15. Taqsimotning noma‟lum parametrlarini nuqtaviy baholash. 16. Intervalli baholash. 17. Korrelyatsiyaning tanlama koeffisiyenti. Chiziqli regrassiya.
4
1-Misol. Qutida 10 ta shar bo‟lib, ularning 3 tasi oq va 7 tasi qora. Qutida ixtiyoriy ravishda bitta shar olindi. Quyidagi hodisalarning ehtimolini toping: A = {olingan shar oq}, B = {olingan shar qora}.
ham n = 10 bo‟ladi. Oq sharlar soni 3 ta bo‟lganligi uchun, A hodisaga qulay hodisalar soni ham m A = 3 bo‟ladi. Shu sababli A hodisaning yuz berish ehtimoli 10 3
(
P ga teng bo‟ladi. Xuddi shu singari m
= 7 va
10 7 ) (
P bo‟ladi. 2-Misol. Uchta tanga tashlandi.A = {ikkita «gerb» tushdi} hodisa ehtimolini toping. Yechish: elementar hodisalar fazosini tuzamiz. = {ggg, ggr, grg, rgg, grr, rgr, rrg, rrr}. Demak bu fazo n = 8 elementdan iborat. A hodisa quyidagi qulay elementlardan iborat: A = {ggr, grg, rgg}, ya‟ni m A = 3, shuning uchun izlanayotgan ehtimol 8 3
(
P ga teng bo‟ladi. 3-Misol..O‟yin toshi (tomonlari 1, 2, 3, 4, 5, 6 raqamlar bilan belgilangan kubik) tashlandi. Quyidagi hodisalarning ehtimolini toping: A = { 4 raqami tushdi}, B = {4 dan katta raqam tushdi}.
hodisalar soni n = 6 bo‟ladi. A hodisaga qulay elementar hodisa faqat bitta hodisa, ya‟ni m A = 1,
shu sababli 6 1 ) ( A P bo‟ladi. B hodisa yuz berishi uchun yoki 5 yoki 6 raqamlari tushishi kerak, shuning uchun m
= 2 va
3 1 6 2 ) (
P ga ega bo‟lamiz. 4-Misol. Qutida 10 ta shar bo‟lib, ulardan 6 tasi oq rangda va 4 tasi qora rangda. *Qutidan ixtiyoriy ravishda olingan uchta sharlarning ikkitasi oq va bittasi qora rangda}hodisasining ehtimolini toping. Yechish: Masalani ehimolning klassik ta‟rifidan foydalanib yechamiz. Yuz beishi mumkin bo‟lgan hodisalar soni
( )
hodisa yuz berishi uchun imkon tug‟diruvchi hodisalar soni
Shung uchun ixtiyoriy ravishda olingan uchta shardan ikkitasi oq va bittasi qora rangda bo‟lish ehtimoli ( )
5
ta oq va 4 ta qora shar bor. Ixtiyoriy ravishda bitta quti tanlanib, undan bitta shar olinadi. 1) Olingan shar oq shar bo‟ish ehtimolini toping; 2) Olingan shar oq bo‟lib chiqdi, bu sharning birinchi qutidan bo‟lish ehtimolini toping.
1 ={birinchi quti tanlandi}, H 2 ={ikkinchi quti tanlandi} hodisalarni kiritamiz. Qutilar ixtiyoriy ravishda tanlanganligi uchun P(H 1 )=P(H 2 )=1/2
bo‟ladi. Shartli ehtimollarni klassik ta‟rif bo‟yicha hisoblaymiz: P(A H 1 )=2/3, P(A H
)=1/5. Bularni to‟la ehtimol formulasiga qo‟yib izlanayotgan P(A) ehtimolni topamiz: P(A)= P(H 1
P(A
H 1 )+ +P(H 2 ) P(A
H 2 )=(1/2) (2/3)+(1/2) (1/5)=13/30.
Endi olingan sharning birinchi qutidan bo‟lish ehtimoli P(H 1 A) ni Bayes formulasiga qo‟yib hisoblaymiz: 39 30 30 13 3 2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 A P H A P H P A H P 6-Misol.Sexda 20 ta dastgoh ishlaydi. Ulardan 10 tasi I markali, 6 tasi II markali va 4 tasi III markali. Har bir dastgohda tayyorlangan maxsulotning a‟lo sifatli bo‟lish ehtimollari mos ravishda 0,9; 0,8 va 0,7 ga teng. Sexda tayyorlangan maxsulotning necha foizi a‟lo sifatli bo‟ladi?
Yechish: Ushbu H 1 ={maxsulot I markali dastgohda tayyorlangan}, H 2 ={maxsulot II markali dastgohda tayyorlangan}, H 3 ={maxsulot III markali dastgohda tayyorlangan} va A={tanlangan maxsulot a‟lo sifatli} hodisalarni kiritamiz va ular uchun ehtimollarni klassik ta‟rif bo‟yicha hisoblaymiz: dastgohlar soni n=20, m(H 1 )=10, m(H 2 )=6, m(H 3 )=4,
P(H 1 )=10/20=1/2, P(H 2 )=6/20=3/10, P(H 3 )=4/20=1/5. Masala shartiga ko‟ra P(A H 1 )=0,9; P(A
H 2 )=0,8 va P(A H
3 )=0,7 bo‟ladi. Topilgan ehtimollarni to‟la ehtimol formulasiga qo‟yib P(A) ehtimolni topamiz: P(A)=P(H
1 )P(A
H 1 )+P(H 2 )P(A H 2 )+P(H 1 )P(A H 3 )=(1/2)0,9+(3/10)0,8+(1/5)0,7= =0,45+0,24+0,14=0,83 Demak tayyorlanadigan maxsulotning 83% a‟lo sifatli bo‟lar ekan.
xulosaga kelindi. Shu oydan ixtiyoriy ravishda olingan 8 kunning 3 kunida yog‟ingarchilik bolishi ehtimolini toping.
6
Yechish: Bir oyda o‟rtacha 30 kun bor deb hsoblasak, ixtiyoriy bir kunda yomg‟ir bo‟lish ehtimoli 5 2
12 p va 5 3
p q bo‟ladi. Hisoblangan qiymatlarni Bernulli formulasiga qo‟yib izlanayotgan 5 3 3 8 8 ) 3 (
p C P 2787
, 0 ) 5 3 ( ) 5 2 ( 5 3 3 8 C
3 2
Agar tajribalar 7 marta takrorlansa muvaffaqiyatli chiqqan tajribalar sonining eng ehtimollisini toping.
Yechish:Demak 3 1 1 , 3 2
q p , n=7 ekan. Eng ehtimolli
ikki tomonli tengsizlikni qanoatlantiradi.Shuning uchun yuqoridagilarni bu tengsizlikka qo‟yamiz 3 2
2 7 3 1 3 2 7 0
yoki 33
5 33 , 4 0 m bundan 5 0
m
ga ega bo‟lamiz. 9-Misol. Har bir tajribada A hodisaning yuz berish ehtimoli 0,25 ga teng bo‟lsa, tajribalar 243 marta o‟tkazilganda uning 70 marta yuz berish ehtimolini toping. Yechish: Shartga ko‟ra n = 243; m = 70; p = 0,25; q = 0,75. Tajribalar soni n=243 yetarlicha katta bo‟lganligi uchun Laplasning lokal teoremasidan foydalanamiz: ) (
) (
npq m P n formuladagi x o‟zgaruvching qiymatini hisoblaymiz: 37 ,
75 , 6 25 , 9 75 , 0 25 , 0 243 25 , 0 243
70 npq np m x .Jadvaldan (1,37)=0,1561 qiymatnitopamiz. U holda izlanayotgan ehtimol 0231
, 0 75 , 6 1561 , 0 ) 70 ( 243
ga teng bo‟ladi.
teng. Bu hodisaning kamida 75 marta va ko‟pi bilan 90 marta yuz berish ehtimolini toping. Yechish: Laplasning integral teoremasidan foydalanamiz: ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 х Ф х Ф m P m m m P m m m n
Masala shartiga ko‟ra n=100, p=0,8, q=0,2,m 1 =75, m 2 =90 va bu qiymatlar orqalix′vax″ni hisoblaymiz: 7
25 , 1 2 , 0 8 , 0 100 8 , 0 100 75 1 npq np m x , 5 , 2 2 , 0 8 , 0 100 8 , 0 100 90 2 npq np m x
Laplas funksiyasining toqligini, ya‟ni Ф(–х) = –Ф(х) ekanligini hisobga olsakP 100
(75≤m≤90)
funksiyaning qiymatlari jadvalidan Ф(2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944 qiymatlarni topamiz. Bu qiymatlarni yuqoridagi tenglikka qo‟ysak izlanayotgan P 100 (75≤m≤90) 0,4938+0,3944=0,8882 ehtimolni hosil qilamiz.
3 5 7 8 11 12 P 0,15
0,23 0,19
0,18 0,12
0,13 jadvalda keltirilgan. Uning matematik kutilmasini, dispersiyasi vao‟rtacha kvadratik chetlanishsini toping.
va
2 tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini hisoblaymiz. M =3·0,15+5·0,23+7·0,19+8·0,18+11·0,12+12·0,13=7,25 M
=3 2
2 ·0,23+7
2 ·0,19+8
2 ·0,18+11
2 ·0,12+12
2 ·0,13=61,17. Endi D = M 2 -(M )
formula bilan dispersiyani hisoblaymiz: D =61,17-(7,25) 2 =8,61. U holda berilgan tasodifiy miqdorning o‟rtacha kvadratik chetlanishi 93 , 2 61 , 8
bo‟ladi. 12-Misol.ξ tasodifiy miqdor ehtimollarining zichlik funsiyasi
2 agar
, 0 2 x 1 agar , ) 2 )( 2 / 3 ( 1 0 agar
, ) 2 / 3 ( 0 agar
, 0 ) ( 2 2 x x x x x x f ko‟rinishda bo‟lsa, uning a) dastlabki to‟rtta boshlang‟ich va markaziy momentlarini toping; b) A
assimmetriyasini toping. Yechish: a) Dastlab 4 3 2 1 , , , boshlang‟ich momentlarni topamiz. 1 ) 4 1 3 4 2 )( 2 / 3 ( ) 8 / 3 ( ) 2 ( ) 2 / 3 ( ) 2 / 3 ( ) ( 2 1 4 3 2 1 0 4 2 1 2 1 0 3 1
x x x dx x x dx x dx x xf M 10 11 ) 5 1 3 4 ( 2 3 10 3 ) 2 ( ) 2 / 3 ( ) 2 / 3 ( ) ( 2 1 5 4 3 1 0 5 2 1 2 2 1 0 4 2 2 2 x x x x dx x x dx x dx x f x M 8
10 13 ) 6 1 5 4 ( 2 3 4 1 ) 2 ( ) 2 / 3 ( ) 2 / 3 ( ) ( 2 1 6 5 4 1 0 6 2 1 2 3 1 0 5 3 3 3 x x x x dx x x dx x dx x f x M 35 57 ) 7 1 3 2 5 4 ( 2 3 14 3 ) 2 ( ) 2 / 3 ( ) 2 / 3 ( ) ( 2 1 7 6 5 1 0 7 2 1 2 4 1 0 6 4 4 4
x x x dx x x dx x dx x f x M Endi markaziy momentlarni topamiz: 0 )
4 3 5 4 1 ( 2 3 ) 4 1 4 1 ( 2 3 ) 2 )( 1 )( 2 / 3 ( ) 1 )( 2 / 3 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 3 4 1 0 3 4 2 1 2 1 0 2 1
x x x x x dx x x dx x x dx x f x dx x f M x M M
Ikkinchi, uchinchi va to‟rtinch markaziy momentlarni topamiz: 1 , 0 1 10 11 2 1 2 2 0 1 2 10 11 1 3 10 13 2 3 3 1 2 1 3 3 35 1 1 3 10 11 1 6 10 13 1 4 35 57 3 6 4 4 1 2 2 1 3 1 4 4 Tasodifiy miqdorning assimmetriyasini 3 3
A formula bo‟yicha hisoblanadi: 0 )
0 3 2 s A 13-Misol.Tanlama hajmi n=50 bo‟yicha taqsimot qatori berilgan ξ i -2,25 -1,75 -1,25
-0,75 -0,25
0,25 0,75
1,25 1,75
2,25 p i 0,02
0,04 0,11
0,18 0,27
0,16 0,10
0,07 0,03
0,02 Tanlamaninggistogrammasini, poligoninivataqsimotningemeperikfunksiysinituzing, hamdatanlamamatematikkutilmasi, dispersiyasivao‟rtachakvadratikchetlanishinitoping.
Yechish: Dastlab m i i p 1 1 shartning bajarilishini tekshiramiz: 0,02+0,04+0,11+0,18+ +0,27+0,16+0,10+0,07+0,03+0,02=1 9
i i k i k p 1 formula bilan matematik kutilmaga nuqtaviy baholashni topamiz:
m i i i p 1 =(-2,25)·0,02+(-1,75)·0,04+(-1,25)·0,11+(-0,75)·0,18+ +(-0,25)·0,27+0,25·0,16+0,75·0,10+1,25·0,07+1,75·0,03+2,25·0,02=-0,155;
i i k i k p 1 1 ) ( formula bilan tanlama dispersiyasini topamiz: m i i i p D 1 2 ) ( =(-2,25+0,155) 2 ·0,02+(-1,75+0,155) 2 ·0,04+
+(-1,25+0,155) 2 ·0,11+(-0,75+0,155) 2 ·0,18+(-0,25+0,155) 2 ·0,27+
+(0,25+0,155) 2 ·0,16+(0,75+0,155) 2 ·0,10+(1,25+0,155) 2 ·0,07+
+(1,75+0,155) 2 ·0,03+(2,25+0,155) 2 ·0,02=0,858475 Tanlama dispersiyasidan kvadrat ildiz chqarib tanlamaning o‟rtacha kvadratik chetlanishini topamiz: D =0,92654
Tanlama gistogrammasini yasaymiz. Buning uchun p i chastotani tanlama intervalining Δ=0,5 uzunligiga bo‟lib {ξ
; f i } massivni tuzamiz, natijada f i chastotalar zichligi jadvalini hosil qildik
i -2,25 -1,75 -1,25
-0,75 -0,25
0,25 0,75
1,25 1,75
2,25 f i 0,04
0,08 0,22
0,36 0,54
0,32 0,20
0,14 0,06
0,04
Abssisalar oqiga markazlari ξ i nuqtalarda bo‟lganeni Δ=0,5 ga teng bo‟lgan intervallarni va anashu intervallar ustiga balandligi f
ga teng bo‟lgan to‟g‟ri to‟rtburchaklarni joylashtiramiz va natijada zinasimon figura-gistogramma-taqsimot zichligi egri chizig‟ining statistic analogini hosil qildik.
10
Taqsimot zichligiegrichizig‟ini yanada aniqroq ifodalovchi chastotalar poligonini{ξ i ; f i } nuqtalarnikesmalarbilantutashtiribyasaymiz:
Agar
massivning {ξ i ;
i } nuqtalari orqali silliqchiziqo‟tkazsakf(x) taqsimotzichligiegrichizig‟igaenganiqtaqribiyyaqinlashishinihosilqilamiz:
Poligon
.
ξ -2
-1 1 2 0,3 0,2
0,1 0,4
0,5 -3 -2 -1 0 1 2 3
0,5
0,4 0,3
0,2 0,1
Gistogramma. 11
Hosil qilingan empiric zichlik bilan zichlik funksiyasi ) 2 ) ( exp(
2 1 ) ( 2 2 a x x f bo‟lgan
N(a, σ) normal qonunni taqqoslash muhima hamiyatga ega. Quyidagi tasvirda shtrix chiziq bilan a=0 vaσ=1 bo‟lgan normal taqsimlangan tasodifiy miqdor zhichlik funksiyasi chizilgan:
Hosil qilingan empiric taqsimot bilan nazariy N(0, 1) normal taqsimotning yaqinligina faqat grafik tasvir bilan, balki quyidagi jadval bilan ham tasdiqlanadi:
Taqsimotning empirik zichligi. f ξ -2
-1 1 2 0,3 0,2
0,1 0,4
0,5
ξ -2
-1 1 2 0,3 0,2
0,1 0,4
0,5 16-rasm
12
Sonli xarakteristikalar Taqsimotlar Empirik Normal
MX=a -0,155
0 DX 0,858475 1
0,92654
1 A 0,29636
0 E 0,03025
0 Empirik zichlik funksiyasi grafigini normal taqsimlangan tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi grafigi bilan taqqoslasak: empiric grafik chaproqqa surilgan (matematikkutilma 0 155 , 0 , tanlama asimmetryasi A=0,29636>0), siqilgan (tanalama dispersiyasi 1 858475
, 0 D ) va
tepaga qarab cho‟zilgan (tanlama ekssessi E=0,03025>0).
Empirik taqsimot funksiyasini x i i p x F ) ( formulaga asosan yasaymiz, natijada taqsimotning ushbu integral qatorini hosil qilamiz:
i -2,25 -1,75 -1,25
-0,75 -0,25
0,25 0,75
1,25 1,75
2,25 F(x) 0,02
0,06 0,17
0,35 0,62
0,78 0,88
0,95 0,98
1,00 Ushu jadval asosida yasaladigan empiric taqsimot funksiya six=-2,25 dan chapda 0 va x=2,25 dan o‟ngda 1 qiymatni qabul qiladi va har bir intervalning chap uchidan o‟tishda p
miqdorga sakraydigan xususiyatga ega.
-1
-2 -3
1 2 3 0,1 0,2
0,3 0,4
0,5 0,6
0,7 0,8
0,9 1
F(x) Empirik taqsimot funksiyasi. 13
Download 0.94 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|