Toshkent davlat transport universiteti
Download 0.97 Mb. Pdf ko'rish
|
2 5206203590632277858(1)
- Bu sahifa navigatsiya:
- OLIY MATEMATIKADAN LOYIHA-HISOB ISHLARI BO’YICHA TOPSHIRIQLAR TO’PLAMI VA ULARNI BAJARISHGA DOIR KO’RSATMALAR
- Toshkent – 2020
- Qator yaqinlashishining zaruriy sharti.
- 2.1 Solishtirish alomati I.
- 2.2. Solishtirish alomati II.
- Misol 9.
- 2.3. Dalamber alomati.
- Misol 14.
|
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI TOSHKENT DAVLAT TRANSPORT UNIVERSITETI
B.S.Zakirov
ISHLARI BO’YICHA TOPSHIRIQLAR TO’PLAMI VA ULARNI BAJARISHGA DOIR KO’RSATMALAR LHI-5: Qatorlar. Sonli qatorlarni yaqinlashishga tekshirish, funksiyalarni darajali qatorlarga yoyishga doir misol va masalalarni mustaqil yechish.
Toshkent – 2020 B.S.Zakirov. Oliy matematikadan loyiha-hisob ishlarini bo’yicha topshiriqlar to’plami va ularni bajarishga doir ko‘rsatmalar. I qism. Qatorlar. Sonli qatorlarni yaqinlashishga tekshirish, funksiyalarni darajali qatorlarga yoyish. –Т.: “TDTU”, –2020. 52 bet. Ushbu uslubiy qo‘llanma Oliy matematika fani bo’yicha loyiha-hisob ishlari
(LHI-5) topshiriqlarini bajarishga mo’ljallangan. Unda sonli qatorlar, funksional qatorlar, funksiyalarni darajali qatorlarga yoyish va ularning tadbiqlari bo‘limlariga tegishli masala va topshiriqlar jamlangan. Keltirilgan ma’lumotlar masofaviy ta’limni tashkil etish jaroyonida talabalarga mustaqil ta’limini tashkil etishda, xususan, loyiha-hisob ishlarini bajarishda yordam beradi degan umiddamiz.
Har bir bo‘limning boshida qisqacha nazariy ma’lumotlar berilgan, bo‘limga tegishli bo‘lgan asosiy ta’rif va formulalar keltirilgan. Oxirgi bo’limda loyiha- hisob ishidagi ba’zi tipik masalalarning yechimlari namuna sifatida ko‘rsatilgan. Bu o‘z navbatida talabaga loyiha-hisob ishinidagi masala va misollarni mustaqil yechishga ko‘maklashadi. Uslubiy ko‘rsatma muhanlislik ishi, arxitektura va qurilish, xizmat ko’rsatish sohasi va transport ta’lim sohalariga kiruvchi ta’lim yo‘nalishlarida tahsil oluvchi bakalavriat talabalari uchun mo‘ljallangan.
1-§. Sonli qatorlar
1. Asosiy tushunchalar. Cheksiz sonlar ketma-ketligi 1 2 , , , , n u u u berilgan bo‘lsin. 1 2 1 ...
... n n n u u u u = + + + + =
(1) ifodaga sonli qator deb ataldi, 1 2 , , , , n u u u sonlar esa qatorning hadlari deb ataladi. Agar sonli qatorning qismiy yig‘indisi 1 2
n n S u u u = + + +
chekli limitga ega bo‘lsa, u holda qator yaqinlashuvchi deb ataladi. Bunda lim
→ = miqdor qatorning yig‘indisi deb, 1 2 ... n n n n R S S u u + + = − = + +
songa esa qatorning qoldig’i deb ataladi. Agar lim n n S → mavjud bo‘lmasa, yoki ga
teng bo‘lsa, u holda qator uzoqlashuvchi deb ataladi. Misol 1. Hadlari geometrik grogressiyani tashkil etuvchi 2 1 ... ...,
( 0)
a aq aq aq a − + + + +
+
qatorni ko‘ramiz. Bu qator 1
da yaqinlashuvchi bo‘lib, qatorning yig‘indisi 1
S q = − ga teng bo‘ladi, 1
da qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
1 1 1 ln 1 ln(
1) ln
n n n n = = + = + −
qator uzoqlashuvchi, chunki lim lim ln(
1) n n n S n → → = + = +
. Misol 3. 1 1 1 1 ... ... 1 2
2 3 3 4
( 1)
+ +
+ +
qatorning yig‘indisini toping.
1 1 1 ( 1) 1 n n n n = −
+ + tenglikdan foydalanib, qatorning qismiy yig‘indisini topamiz. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 1 1 1 n S n n n n n = − + − + − + + − + − = −
− + + . Shuning uchun, 1 lim
lim(1 ) 1,
1 n n x S n → → = − = + ya’ni qator yaqinlashuvchi va yig‘indisi 1 ga teng.
1 1 1 1 ... ... 2 3 4
3 4 5 4 5 6
( 1)(
2)( 3)
n n + + + + +
+ + + qatorning yig‘indisini toping. Yechish. 1 1 1 1 ( 1)( 2)(
3) 2 (
1)( 2) ( 2)( 3)
n n n n n n = − + + + + + + +
tenglikdan foydalanib, xuddi 3-misoldagidek topamiz: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 2 3
3 4 3 4
4 5 4 5
5 6 ( 1)( 2) ( 2)( 3) 1 1 1 1 1 1 . lim
. 2 2 3
( 2)(
3) 2 2 3
12 n n n S n n n n S n n → = − + − + − + +
− = + + + + = − = = + + Misol 5. 1 1 1 1 ... ... 2 3 n + + + + qatorni yaqinlashishga tekshiring. Yechish. Qatorning hadlari kamayib borganligi sababli, uning qismiy yig‘indisi 1 1 1 1 1 ... . 2 3 n S n n n n = +
+ + +
=
shuning uchun lim
n n S → = + va qator uzoqlashuvchi. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti. Agar qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda uning n -hadi n u nolga intiladi: lim 0.
→ = Agar bu shart bajarilmasa, ya’ni lim 0
n u → bo‘lsa, qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Lekin bu shart qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun yetarli bo‘lmaydi. Boshqacha aytganda, bu shart bajarilganda qator uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin. Bu holga misol sifatida yuqorida ko‘rilgan 1 1
) n n = + va 1 1
n = qatorlarni keltirish mumkin. Misol 6. Ushbu 2 3 1 ...
... 4 7 3 2
n + + + +
+ −
qator uzoqlashuvchi, chunki 1 lim lim 0 3 2 3
n n n u n → → = =
− . 2. Musbat hadli qatorlarning yaqinlashish alomatlari. 2.1 Solishtirish alomati I. Ikkita musbat hadli 1 2 ... ...
n a a a + + + +
( )
A va
1 2 ...
... n b b b + + + +
( )
B qatorlar berilgan bo‘lsin. Agar biror nomerdan boshlab (masalan, n N uchun)
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda ( ) B qatorning yaqinlashishidan ( ) A qatorning yaqinlashishi kelib chiqadi; yoki ( ) A qatorning uzoqlashuvchiligidan ( ) B qatorning ham uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi. Misol 7. Ushbu 2 3 1 1 1 1 ...
... 1 5
2 5 3 5
5 n n + + + + + qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Haqiqatan, 1 1 5 5
n n n a b n = = tengsizlik o‘rinli va 2 3 1 1 1 1 ...
... 5 5 5 5
+ +
+
qator geometrik grogressiya bo‘lib, maxraji 1 1 5 q = bo‘lgani uchun yaqinlashuvchi (Misol 1). Solishtirish alomatiga ko‘ra berilgan qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Misol 8. Ushbu 1 1 1 ...
... ln 2
ln 3 ln n + + +
+ qator uzoqlashuvchi, chunki 1 1 , 2,3,...
ln n n n = tengsizlik o‘rinli bo‘lib,
1 1 1 ... ... 2 3 n + + + +
qator uzoqlashuvchi (Misol 5). 2.2. Solishtirish alomati II. Agar lim
n n n a k b → = chekli limit mavjud bo‘lib, 0
A va ( ) B qatorlar bir vaqtda yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘ladi. Misol 9. Ushbu 1 1 1 1 ... ... 2 3 n + + + + +
qator garmonik qator deb ataladi va uzoqlashuvchi bo‘ladi. Haqiqatan, bu qatorga solishtirish alomatiga ko‘ra quyidagi uzoqlashuvchi bo‘lgan (Misol 2) 1 1
n n = + qatorni mos keltiramiz: Ikkinchi ajoyib limitdan 1 lim 1
n n e n → + = foydalanib, quyidagiga ega bo‘lamiz: 1 ln 1
lim 1 1 n n n → + = . Bu o‘z navbatida garmonik qatorning uzoqlashuvchiligini isbotlaydi.
2 2 2 1 1 1 1 ... ... 2 3 n + + + + + qator yaqinlashuvchi, chunki bu qatorni yaqinlashuvchi bo‘lgan (Misol 3) 1 1 1 1 ... ... 1 2
2 3 3 4
( 1)
n + + + + + +
qator bilan solishtirish mumkin. Haqiqatan, 2 1 ( 1) lim
lim 1 1 1 n n n n n n n → → + = = + tenglik va solishtirish alomatiga ko‘ra berilgan qatorning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi. 2.3. Dalamber alomati. ( ) A qator uchun 1 lim n n n a l a + → = chekli limit mavjud bo‘lsin. U holda, agar 1
1
qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar 1
masalasi ochiq qoladi (bu holda boshqa usul bilan tekshirish kerak). Misol 11. Ushbu 2 3 2 2 2 2 ...
... 1 2
1 2 3 1 2 3 ... n n + + + + +
qatorni yaqinlashishga tekshiring. Yechish. Bu yerda 1 1 2 2 2 2 2 ; 1 2 3 ... ! ( 1)! ! (
1) n n n n n n a a n n n n n + + = = = = + +
. Shuning uchun 1 2
lim 0 1.
1 n n n n a l a n + → → = = = + Dalamber alomatiga ko‘ra qator yaqinlashuvchi. Misol 12. Ushbu 1 3 ( 0) 2 n n p n p n = qatorni yaqinlashishga tekshiring.
1 1
3 3 3 3 ; 2 2 ( 1) 2 2 (
1) n n p p p n n n n n n a a n n n + + + = = = + +
. 1 3 3 1 3 lim lim
lim 1. 2 ( 1) 2 2 1 1
n p p n n n n a n l a n n + → → → = = = = + +
Qator uzoqlashuvchi, shu bilan birga uning umumiy hadi n a cheksizga intiladi.
A qator uchun lim n n n a l → = chekli limit mavjud bo‘lsin. U holda, agar 1
1
qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar 1
masalasi ochiq qoladi (bu holda boshqa usul bilan tekshirish kerak).
2 1 (ln ) n n n = qatorni yaqinlashishga tekshiring. Yechish. Bu
yerda 1 (ln ) n n a n = . Shuning uchun
1 lim
lim 0 1.
ln n n n n l a n → → = = = Qator yaqinlashuvchi. Misol 14. Ushbu
2 4 9 3 4 1 2 ...
... 2 3 n n n + + + + + +
qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Download 0.97 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|