Уч каррали интеграллар уч каррали интегрални таърифи бўйича ҳисоблаш

УЧ КАРРАЛИ ИНТЕГРАЛЛАР
Уч каррали интегрални таърифи бўйича ҳисоблаш
Мазкур бобдаги мисолларни ўрганиш ва машкларни ечиш учун [1] китобдан XVIII бобнн ўрганнб чиқиш лозим.
Биз уч каррали интегралнинг Риман таърифини (яъни Риман ин-теграли таърифини) келтириш билан чегараланамиз.
Бирор фазовий (V) соҳада узлуксиз функция берилган
бўлсин. Бу соҳани уч хил силлиқ (бўлакли — силлиқ) сиртлар тўри ёрдамида чекли сондаги (масалан, та)

фазовий соҳачаларга ажратамиз; уларнинг ҳажмларини мос равишда
деб белгилаймиз. Исталган соҳачадан ихтиёрий нуқта оламиз, функциянинг шу нуқтада-
ги қиймати билан мос соҳачани ҳажмини ўзаро кў-
пайтирамиз:
(2.1)
ва барча миқдорларни ҳар бир индекслар бўйича (мос равишда 1 дан гача, 1 дан гача, 1 дан гача) жамлаб функция учун (V) соҳадаги (Риман маъносидаги)
(2.2)
уч каррали интеграл йиғиндини тузамиз. Сўнгра соҳача
диаметрларининг энг катгасини деб бел-
гилаймиз. Агар Д сон нолга интилса, равшанки, сонлар чек-
сизга интилади. Тескариси, умуман айтганда, тўғри эмас. (2.2) ин­теграл йиғиндининг даги чекли лимити, яъни

сон функциянинг оэҳа бўйича олинган уч каррали (Ри-
ман маъцг^мпаги) интеграли дейилади ва ушбу

символ билан белгиланади.
Биз соҳани кўрила диган мисолларда шундай соҳача- 1
ларга бўламизки, натижада да албатта
бўлади. Шунинг учун мисолларда нинг
даги уч каррали лимитини ҳисоблаш етарли бўлади. Қайд қилиб ўтамизки, агар функция соҳада учала J
аргумента бўйича нуқтада узлуксиз бўлса, у 1
ҳолда ушбу уч каррали лимит учун

такрорий лимитлар мавжуд ва улар ўзаро тенг бўлади.
функциянинг тузилишига қараб уч каррали лимит учта оддий лимитлар кўпайтмасига тенг бўлиб қолиши ҳам мумкин. Ма-салан, узлуксиз функция учун

тенгликка эгамиз. Бу хоссалардан уч каррали ли-
митни ҳисоблашда фойдаланамиз.
Юкоридаги (2.2) формулада учрайдиган сохэчанинг ҳаж-
мини ҳисоблгш учун биз уч ҳолни кўриб чиқамиз: соҳа уч хил: 1) сферик 2) цилиндрик 3) декарт коор-
динаталари системасидан бирида таБсифланган бўлиши мумкин.
1-ҳол. Геометриядан маълумки, (32-чизма) шар секторининг
ҳажми формула билан ҳисобланади, бу ерда
(32- чизма). Демак, шар ҳажми унинг радиуси ва сектор ўқ кесимидаги бур-
чакка боғлиқ, яъни
(2.4)
Энди иккита сферик сиртлар ва ўқ кесимидаги бурчак га тенг бўлган конус сирти орасидаги жисмнинг ҳажмини топамиз (33-чизма):
(2.5)
Энди иккитя сфера, иккита
ярим текислик ва конус сирт(35- чизма) .]
билгн чегараланган V₃ ҳажмни тспиш керак бўлсин. Бу V₃ нинг 1 киймати га пропорционал ва
(2.7) \
формула билан ҳисобланади.
мисоллар ечишда элеме}1тар сохачанинг координата-
лар системасидаги хажмини (2.8) формула оркали ёзамиз.
2-ҳол. фазодаги нуқтанинг цилиндрик ко-
ординаталари Г i бўлиб, 'лар билан қуйидагича ббғлан-
ган (37-чичма):

36- чизма 37- чизма

38- чизма 39- чизма
■

бу ерд?
Цилиндриккоординаталар системасида тенглама ўқи
Oz, радиуси г₀ га тенг, ясовчилари Oz га параллел бўлган цилин­дрик снртни, тенглама ўқдан ўтувчи ва xOz текислик би­лан бурчак ташкил этган ярим текисликни ва г = г₀ тенглама эса (х, у) текисликка параллел ва ундан z₀ масофада ўтувчи текис­ликни тасвирлайди.
Ушбу иккита цилиндрик сирт, иккита
ярим текислик ва и текислик орасидаги
Д V ҳажмни ҳисоблаймиз _v
Икки каррали интегралларни таърифга асосан хисоблаганда ABCD
шакл (38-чизма) юзаси учун формулами чи-
қарган эдик, бу ерда
Л К ҳажм эса S_ABCD—асос юзи билан ба-
ландлик кўпайтмасига тенг, яъни ёки
десак, ушбу
(2.9)
Аоомулага эга бўламиз.