Уравнения Гельмгольца. Helmgolts Tenglamalari

Уравнения Гельмгольца.
Helmgolts Tenglamalari.
Maksvell tomonidan olingan eng muhim natijalardan biri elektromagnit maydonning to'lqin tabiatini isbotlash edi. Vaqt o'tishi bilan elektr maydonining o'zgarishi kosmosda heterojen magnit maydonning paydo bo'lishiga olib keladi va aksincha. Bu erda fizik rasm oddiy tebranish pallasida elektr va magnit maydon o'rtasida energiya almashinuvi jarayoniga o'xshaydi.
Shuning uchun elektromagnit jarayon eng umumiy holatda ham ba'zi tebranishlarni ifodalaydi deb kutish mumkin. Bu erda asosiy farq shundaki, elektromagnit maydonning tebranishlari bir vaqtning o'zida kosmosning barcha nuqtalarida ko'rib chiqilishi kerak. Fizikada uzluksiz muhitning tebranish harakati odatda to'lqin jarayoni deb ataladi.
Biz elektromagnit maydonning to'lqin xususiyatini matematik tarzda isbotlaymiz,
Maksvell tenglamalarini to'lqin jarayonini aniq tasvirlaydigan boshqa tenglamalarga kamaytiramiz.
Kosmosning ma'lum bir sohasidagi elektromagnit maydonni ko'rib chiqing, bu erda zaryad zichligi yo'q, ya'ni.. Uchinchi tomon elektr toklarining zichligi ham nolga teng deb taxmin qilinadi.
Murakkab amplitudalar uchun Maksvell tenglamalarining umumiy tizimidan dastlabki ikkita tenglamani quyidagicha yozamiz:

Ushbu ikkita tenglamani bittasiga qisqartirish mumkin. Buning uchun rot operatsiyasini ikkinchi tenglamaning chap va o'ng qismlariga qo'llang, so'ngra olingan o'ng tomonni ikkinchi tenglama orqali ifodalang:

Bu erda-umuman olganda, elektromagnit to'lqinning doimiy tarqalishi ko'rsatilganmurakkab son. Adabiyotda qiymat uchun siz fazaviy doimiy yoki to'lqin sonining nomlarini ham topishingiz mumkin.
Agar siz vektorli tahlilning ma'lum identifikatoridan foydalansangiz, formulani yanada o'zgartirish mumkin:
.
Bu erda (nabla kvadrat) ikkinchi darajali vektorli differentsial operator bo'lib, uning o'ziga xos shakli hisob − kitoblar amalga oshiriladigan koordinata tizimi tomonidan to'liq aniqlanadi. Dekart koordinatalar tizimi uchun operatorning ta'siri vektor maydonining har bir proektsiyasiga Laplas operatori qo'llanilishiga bog'liq
.
Agar siz qabul qilingan shartga muvofiq ta'minlaydigan Gauss qonunidan foydalansangiz, unda tenglama quyidagi oddiy shaklda qayta yozilishi mumkin:
Maksvell tenglamalarining simmetriyasidan foydalanib, biz vektor maydoniga nisbatan tenglamani ham xuddi shunday olamiz :
.
Matematik fizikadagi ushbu ikkita tenglama Helmholtz tenglamalari deb nomlanadi. Matematik jihatdan shuni ko'rsatish mumkinki, bu tenglamalar statsionar to'lqin jarayonlarini, ya'ni to'lqinlar fazosida ma'lum bir doimiy chastotada tarqalishini tavsiflaydi.

Shunday qilib, Maksvell nazariyasining fundamental xulosasi olingan − elektr yoki magnit maydonlarning vaqt o'zgaruvchanligi kosmosda elektromagnit to'lqinlarning tarqalishiga olib keladi.
Koordinata shaklida Helmgolts tenglamalari quyidagicha yoziladi

yoki
.
Bunday tizimning echimi, masalan, maydon hech qanday tarkibiy qismga ega bo'lmagan hollarda, shuningdek , maydon doimiy ravishda biron bir tekislikda bo'lganida, masalan, juda soddalashtirilgan .