Задача Коши для а-гармонических функций

Тема:Задача Коши для А-гармонических функций.
Пусть — комплексное гильбертово пространство, — ограниченная область в , — замкнутая кривая класса в области , разбивающая ее на две связные компоненты и и ориентированная как граница . Пусть — вещественный линейный непрерывный оператор с .
Требуется найти условия, при которых существует функция , являющаяся решением следующей задачи А1:
(6.15)

Здесь , — заданные функции на , а операторы и определены формулами (4.3) и (4.19), соответственно, при этом — единичный вектор внешней к нормали в точке .
Из результатов четвертой главы следует, что пространство -гармонических в функций является подпространством гильбертова пространства .
По функциям , построим функцию
, (6.16)
где , а — фундаментальное решение оператора , определяемое формулой (4.4). В этом случае при функция является -гармонической. Основные результаты, которые будут доказаны в дальнейшем сформулированы в следующих теоремах [14].
Теорема 6.7.1. Пусть и в области существует подобласть с кусочно-гладкой границей, удовлетворяющая условию теоремы Рунге: дополнение не представимо в виде , где , — компактное, а — замкнутое множества в . Тогда
a) существует система функций , являющаяся ортонормированным базисом в и ортогональным базисом в ;
b) задача А1 разрешима тогда и только тогда, когда ряд сходится, где — коэффициенты Фурье в разложении функции по базису пространства :



При этом, если решение существует, то оно единственно и дается формулой при .
Теорема 6.7.2. При выполнении условий теоремы 6.7.1, для любой функции -гармонической в для всех справедливо представление:
(6.17)
где есть операторная функция, действующая из в и определяемая формулой: для

Предел в формуле (6.17) достигается равномерно на компактных подмножествах в .
Система функций со свойствами, указанными в первом утверждении теоремы 6.7.1, называется базисом с двойной ортогональностью. Доказательство существования такой системы приводится в следующем параграфе.

-1-