Пусть функция задана приближенно с ошибкой

Пример 2.5.1 (задача дифференцирования). Пусть функция задана приближенно с ошибкой

Требуется по функции вычислить приближенное значе¬ние производной
Некорректность данной задачи следует уже из того, что функция вообще может не иметь производной. Но даже если существует, задача может оказаться неустойчивой. В самом деле, при добавлении к ошибки вида получаем, что приближенная функция

стремится при В то же время, разность между производными

бесконечно растет.
Рассмотрим простейшее регуляризирующее семейство где Оценим уклонение в некоторой фиксированной точке В силу дифференцируемости

Поэтому

Следовательно,
(2.5.9)
В данном случае, для того чтобы правая часть неравенства (2.5.9) стре¬милась к нулю, достаточно потребовать, чтобы и стремились к нулю, но не произвольно, с соблюдением условия , т. е. .
Оценку (2.5.9) можно улучшить, если повысить требования на гладкость функции . Например, предположим существование второй производной , ограниченной в некоторой окрестности точки по модулю некоторой постоянной :
(2.5.10)
Возьмем и воспользуемся формулой Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Отсюда

Таким образом, вместо (2.5.9) мы получим оценку
(2.5.11)
Можно уточнить зависимость от , например, если выбрать так, чтобы минимизировать правую часть (2.5.11). Минимум по достигается на положительном решении уравнения

т. е. при . В этом случае

Замечание 2.5.1. Можно построить и исследовать на сходимость и другие семейства регуляризирующих операторов, например: , .
Замечание 2.5.2. Мы оценивали уклонение в окрестности произвольной фиксированной точки . Ясно, что оценка (2.5.11) будет справедлива для всех , если условие (2.5.10) заменить на
(Более подробно о точечной и равномерной регуляризации см. [6]).