§ Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха
Download 48.05 Kb.
|
Лекция№20
- Bu sahifa navigatsiya:
- Однородно-выпуклые функционалы.
- Функционал Мннковского.
Теорема 1. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.
Доказательство. Пусть и все — выпуклые множества. Пусть, далее, и — две произвольные точки из .Тогда отрезок, соединяющий точки и принадлежит каждому , а следовательно, и . Таким образом, действительно выпукло. Заметим, что пересечение выпуклых тел (будучи выпуклым множеством) не обязано быть выпуклым телом (приведите пример). Для произвольного множества в линейном пространстве существует наименьшее выпуклое множество, которое его содержит; им будет пересечение всех выпуклых множеств, содержащих (по крайней мере одно выпуклое множество, содержащее , существует — это все ). Минимальное выпуклое множество, содержащее , мы назовем выпуклой оболочкой множества . Рассмотрим один важный пример выпуклой оболочки. Пусть — точки некоторого линейного пространства. Мы скажем, что эти точки находятся в общем положении, если векторы линейно независимы. (Этo равносильно тому, что из и вытекает, что ). Выпуклая оболочка точек находящихся в общем положении, называется п-мерным симплексом, а сами точки — его вершинами. Нульмерный симплекс — это одна точка. Одномерный симплекс — отрезок, двумерный — треугольник, трехмерный — тетраэдр. Если точки находятся в общем положении, то любые из них ( ) также находятся в общем положении и, следовательно, порождают некоторый - мерный симплекс, называемый - мерной гранью данного -мерного симплекса. Например, тетраэдр с вершинами имеет четыре двумерные грани, определяемые соответственно тройками вершин шесть одномерных граней и четыре нульмерных. Теорема 2. Симплекс с вершинами есть совокупность всех точек, которые можно представить в виде (1) Доказательство. Легко проверить, что совокупность точек вида (1) представляет собой выпуклое множество, содержащее точки .С другой стороны, всякое выпуклое множество, содержащее эти точки, должно содержать и точки вида (1); следовательно, является наименьшим выпуклым множеством, содержащим точки . 2. Однородно-выпуклые функционалы. С понятием выпуклого множества тесно связано важное понятие однородно-выпуклого функционала. Пусть —действительное линейное пространство. Определенный на функционал называется выпуклым, если (2) для всех и . Функционал называется положительно-однородным, если для всех и всех . (3) Для выпуклого положительно-однородного функционала выполнено неравенство: ( ) Действительно . Легко понять, что условие ( ) вместе с условием (3) обеспечивает выпуклость функционала . Положительно-однородный выпуклый функционал мы будем называть короче однородновыпуклым. Укажем некоторые простейшие свойства однородно- выпуклых функционалов. Полагая в равенстве (3) , получае (4) Из ( ) и (4) следует, что для всех (5) Это неравенство означает, в частности, что если , то обязательно . Таким образом, ненулевой однородно- выпуклый функционал может быть всюду неотрицателен, но если всюду , то . При любом . При это следует из (3), при — из (4); если же , то в силу (5) получаем т. е. . Примеры. 1. Всякий линейный функционал является, очевидно, однородно-выпуклым. Однородно-выпуклым будет и функционал , если линеен. Длина вектора в п-мерном евклидовом пространстве есть однородно-выпуклый функционал. Здесь условие (2') означает, что длина суммы двух векторов не превосходит суммы их длин (неравенство треугольника), а (3) непосредственно следует из определения длины вектора в . Пусть — пространство ограниченных последовательностей . Функционал — однородно-выпуклый. 3. Функционал Мннковского. Пусть — произвольное линейное пространство и — выпуклое тело в , ядро которого содержит точку 0. Функционал (6) Download 48.05 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling