§ Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха
Отделимость выпуклых множеств в линейном пространстве
Download 48.05 Kb.
|
Лекция№20
5. Отделимость выпуклых множеств в линейном пространстве. Пусть — действительное линейное пространство, а и — два его подмножества. Говорят, что определенный на линейный функционал разделяет эти множества, если существует такое число , что
при и при , т. е. Если Функционал называется строго разделяющим множества и , если выполнено строгое неравенство Следующие два утверждения непосредственно вытекают из определения разделимости. Линейный функционал разделяет множества и в том и только том случае, когда он разделяет множества и (т. е. множества всех элементов вида , где , и точку 0). Линейный функционал разделяет множества и в том и только том случае, когда при каждом он разделяет множества и . Из теоремы Хана — Банаха легко получается следующая теорема об отделимости выпуклых множеств в линейном пространстве, имеющая многочисленные применения. Теорема 5. Пусть и — выпуклые множества в действительном линейном пространстве , причем ядро хотя бы одного из них, скажем , не пусто и не пересекается с другим множеством. Тогда существует ненулевой линейный функционал. на , разделяющий и . Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что точка 0 принадлежит ядру множества . (Иначе мы рассмотрели бы множества и где Пусть , тогда точка принадлежит ядру множества а 0 принадлежит ядру множества Так как , то 0 не принадлежит ядру и . Пусть — функционал Минковского для . Тогда поскольку . Введем линейный функционал Он определен на одномерном пространстве, состоящем из элементов вида , и удовлетворяет условию поскольку при , и при . По теореме Хана — Банаха функционал . можно продолжить до линейного функционала , определенного на всем и удовлетворяющего на условию и . Отсюда следует, что при и в то же время . Таким образом, разделяет множества и , а следовательно, разделяет и {0}; но тогда разделяет множества и . Теорема доказана. Download 48.05 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling