§ Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха
Download 48.05 Kb.
|
Лекция№20
4. Теорема Хана — Банаха. Пусть — действительное линейное пространство и — некоторое его подпространство. Пусть, далее, на подпространстве задан некоторый линейный: функционал . Линейный функционал , определенный на всем пространстве , называется продолжением функционала , если
для всех Задача о продолжении линейного функционала часто встречается в анализе. Основную роль во всем этом круге вопросов^ играет следующая теорема. Теорема 4 (Хан —Банах). Пусть — однородно-выпуклый функционал, определенный на действительном линейном: пространстве , и пусть — линейное подпространство в . Если — линейный функционал на , подчиненный на функционалу , т. е. если на (9) то может быть продолжен до линейного функционала на подчиненного на всем . Доказательство. Покажем, что если , то функционал можно продолжить с на некоторое большее подпространство с сохранением условия (9). Действительно», пусть — произвольный элемент из L, не принадлежащий и пусть — подпространство, порожденное и . Каждый элемент из имеет вид , где . Если — искомое продолжение функционала на , то или, если положить , . Теперь выберем с так, чтобы сохранить на условие подчинения (9), т.е. так, чтобы при всех и всех действительных выполнялось неравенство . При оно равносильно условию или , a при — условию или Покажем, что всегда существует число , удовлетворяющее этим двум условиям. Пусть и — произвольные элементы из . Тогда (10) Это вытекает из неравенства . Положим Из (10' в силу произвольности у' и у" следует, что . Выбрав так, что , определим функционал на формулой . Этот функционал удовлетворяет условию подчинения (9). Итак, мы показали, что если функционал определен на некотором подпространстве и удовлетворяет на условию (9), то можно продолжить с сохранением этого условия да некоторое большее подпространство . Если в можно выбрать счетную систему элементов , порождающую все , то функционал на строим но индукции, рассматривая возрастающую цепочку подпространст (здесь означает минимальное линейное подпространство в , содержащее и . Тогда каждый элемент жойдет в некоторое и, следовательно, функционал будет продолжен на все . В общем случае (т. е. когда счетного множества, порождающего , не существует) доказательство заканчивается применением леммы Цорна. Совокупность всевозможных продолжений функционала , удовлетворяющих условию подчинения (9), частично упорядочена, и каждое ее линейно упорядоченное подмножество обладает верхней гранью; этой верхней гранью служит функционал, определенный на объединении областей определения функционалов и совпадающий с каждым таким на его области определения. В силу леммы Цорна во всем существует максимальный элемент . Этот максимальный элемент и представляет собой искомый функционал. Действительно, он является продолжением исходного функционала удовлетворяет условию (9) на своей области определения и задан на всем , так как иначе мы продолжили, бы его описанным выше способом с того собственного подпространства, на котором он определен, на большее подпространство, и не был бы максимальным. Теорема доказана. Приведем еще комплексный вариант теоремы Хана — Банаха. Неотрицательный функционал на комплексном линейном пространстве называется однородно-выпуклым, если для всех и всех комплексных чисел Теорема 4а. Пусть — однородно-выпуклый функционал на комплексном линейном пространстве , — линейный функционал, определенный на некотором линейном подпространстве и удовлетворяющий на нем условию . Download 48.05 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling